三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用_精品文档.doc
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三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
阿波罗尼斯定理三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍.
具体地说,就是:
设AD是△ABC的中线,则.
证明如图1,作BC边上的高AH.
由勾股定理,得,,.
所以.
由,可得.
所以.
该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用.
1.直接使用
当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题.
例1AD、BE、CF是△ABC的三条中线.若,,,则______.
(2005年山东省初中数学竞赛)
分析AD、BE、CF是△ABC的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算.
解如图2,AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得
.
代入已知数据,变形得.
同理,.
故.
例2如图3,△ABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间.已知,,.那么,当BC、CA为何值时,线段GH的长达到最大值?
并求GH的最大值.
解如图3,设⊙O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.
由切线长定理,得.
由切割线定理得.
所以,.
设,则.
因此.
设,.则.①
由阿波罗尼斯定理,得,代入数据并变形,得.②
由式①、②,解得,其中,,即.
因此,当时,x达到最大值,即当时,线段GH的长达到最大值.
2.构造三角形的中线后使用定理
有些平面几何题,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.
例3如图4,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、G在同一直线上,M是线段AE的中点,连接MF.则MF的长为______.
(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)
分析要求MF的长,注意到点M是线段AE的中点,只要连接AF后,就可运用阿波罗尼斯定理进行求解了.
解如图4,连接AF,延长BA、EF交于点H.则.
在Rt△AHF中,,,由勾股定理得.
在Rt△AHE中,,,由勾股定理得.
M是△AEF的边AE的中点,由阿波罗尼斯定理得.
变形,并代入得.
所以.
例4如图5,为锐角,A、B是OM上的两个定点,P是ON上的一个动点,问当P在什么位置时,最小?
解析如图5,取AB的中点C,连接PC.
由阿波罗尼斯定理,得.
式中AB的长是定值,要使最小,只需使CP的长最小,根据“垂线段最短”可知,当CP⊥OY时,CP的长最小.至此得到:
当P在点D(D为AB的中点C在ON上的射影)时,最小.
例5如图6,已知三个圆:
半径分别为1、2、3的、、.其中,和彼此外切,并且都和内切.若(未画出)和内切,并分别和、外切,求的半径.
(2011年世界数学团体锦标赛(少年组))
解析如图6,连接、、.
由和彼此外切,并且都和内切,可得,,.
所以.
所以点O在线段上.
设的半径为,连接、、.
由和内切,并分别和、外切,可得,,.
注意到,故可取的中点P,连接,从而可两次使用三角形中线的阿波罗尼斯定理,得
.
所以,
即.
解得.
练习
1.如图7,M、N是Rt△ABC的斜边BC的三等分点.若,,则______.
(2010年世界数学团体锦标赛(少年组)样题)
答案
1..