多元连续函数的性质_精品文档.doc

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毕业论文

题目：

多元连续函数的性质

学院：

数学与信息科学学院

专业：

数学与应用数学

毕业年限：

2012.6

学生姓名：

马骥

学号：

200871010428

指导教师：

张春霞

多元连续函数的性质

马骥

（西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730070）

内容摘要:

本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到多元连续函数的性质.我们一般可把区域分为有界区域和无界区域．本文分别探讨了多元连续函数在有界区域和无界区域上的性质，并得出一系列的结论．对于有界区域，对任意，任意，时，存在，则函数在上有界，取得最大、最小值，一致连续．对于无界区域，如果存在,对任意，时，有，则在上有界；若，则取得最小值；若，则取得最大值．本文分别运用了区域的道路连通性和有界闭区域完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理，然后用零点存在性定理证明多元连续函数的介值性．

关键词:

有界区域；无界区域；有界性；最值性；介值性；一致连续性

PropertiesoftheMultivariateContinuousFunction

Abstract：

Thispaperpopularizethepropertiesofthecontinuousfunctionofonevariableortwovariablesonclosedintervalwithboundtothemultivariatecontinuousfunction.Generally,thedomaincanbedividedintotwokinds:

theboundeddomainandtheunboundeddomain.Thispaperdiscussesthepropertiesofthemultivariatecontinuousfunctionontheboundeddomainortheunboundeddomainanddrawsaseriesofconclusions.Onboundeddomain,forany,any,ifexistswhile,thenfunctionisboundedanduniformlycontinuous,andexistmaximumandminimumvalue.Onunboundeddomain,thereisandforany,,if,thenthefunctionisbounded;if,thenthefunctioncangettheminimumvalue;if,thefunctionwillgetthemaximumvalue.Thispaperappliesroadconnectivityandcompletecoveragetheoremoncloseddomainwithboundrespectivelytoproofofzeropointtheorem,thenapplieszeropointtheoremtoproofofintermediatevaluetheoremofthemultivariatecontinuousfunction.

Keywords：

Boundeddomain；unboundeddomain；boundedness；maximumandminimumvalue；intermediate-valueproperty；uniformlycontinuous

一引言

连续函数的性质在函数的研究中具有很重要的意义和广泛的应用价值.在文献[1]中，利用闭区间上一元连续函数的性质推广到有界闭区域上二元连续函数的性质，在文献[2]中研究了在有界闭区域上连续函数的性质.在文献[3][4][5]中，也探讨了从闭区间到一般区间附加一定条件下连续函数的有界性、取得最大值和最小值性、介值性以及一致连续性问题.但在实际运用过程中，我们经常接触到的不仅仅是区间，还有区域，因此，本文研究了在区域上连续函数的性质，并得出一系列的结论，为连续函数的性质在实际中更广泛地应用提供了一定的理论依据.

一般地，我们可以把9种形式的区间分为三类：

①闭区间；②开区间，，，；③半开半闭区间，，，.同样地，我们也可以把区域分为：

①有界闭区域；②有界开区域；③无界区域.例如，为有界闭区域，为有界开区域，为无界区域.由于在有界闭区域上连续函数的性质，在诸多数学分析教材中已有研究，因此，本文主要研究在有界区域和无界区域上多元连续函数的性质.

二预备知识

文中用表示的闭包，表示的内部，表示的边界，，表示点到原点的距离,表示集合在集合中的余集.

定义1设是开集，如果对于内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界一起，称为闭区域.

定义2设，若对任意，存在，使得对任意有且，，则称是道路连通的，其中叫做中的一条道路，和分别称为该道路的起点和终点.

定义3设是一个区域.如果对于任何两点，，存在着中的一条从到的道路，我们则称是一个道路连通区域.

引理1（完全覆盖）有界闭区域的任意一个完全覆盖都包含的一个分割，即存在的闭子区域，使得，且任意，，当时，，其中表示的直径.

引理2设为一有界闭集，若为上的连续函数，则必定也是一个有界闭集.

引理3设为一有界闭集，若为上的连续函数，则在上必定一致连续.即对于任给的，存在只依赖于的，只要，且满足，就有

.

引理4（Bolzano-Weierstrass引理）设是中的有界序列，则它必有收敛的子序列.

在引理2，引理3中，当时我们可以很容易得到以下推论.

推论1设在有界闭区域上函数连续，则函数在上有界.

推论2设在有界闭区域上函数连续，则函数在上能取得最大值与最小值.

推论3设在有界闭区域上函数连续，则函数在上一致连续.

三多元连续函数的性质

定理1设在有界区域上函数连续，且对任意，任意

，时，存在，则函数在上有界.

证明定义如下：

当时，定义．

当时,定义,其中，．事实上，对中任意两个趋于的点列，，则．设，则，，存在．

由于存在，故

．

所以，的定义有意义.

下面证明函数连续.即对任意一点,任意时,有.

1．当时，取.当充分大时，，则.所以

.

2．当时,对任意，，构造一点列，使得，.找的方法如下：

①当时,取.

②当时,存在一点列,,且.即存在,,，.此时取,因为,故.

所以，，由于，由定理条件知，存在．故有

．

由的定义知：

．

从而连续.

由于有界闭区域是紧致空间，而连续函数在紧致空间上有界，故在有界闭区域上有界，从而在上有界，而在上，故在上有界.

定理2设在无界区域上函数连续，如果存在,对任意，时，有，则函数在上有界.

证明设，则为有界闭集．已知在上连续，则在上连续，而为有界闭区域,由推论1可知在上有界.即对任意，对任意，有.

由定理条件知，对任意,有.

于是,存在，对任意，有.所以，函数在区域上有界.

定理3设在有界区域上函数连续，对任意，对任意，时，存在；且存在，对任意，有，则函数在内能取得最大值.

证明将函数在闭区域上作连续延拓，令

，其中，，.

由定理1的证明过程可知，函数在上连续，由在有界闭区域上连续可知，在有界闭区域上有最大值，从而在上取得最大值.

设在上的最大值为，，则对任意，有

.

若,则,显然为在内的最大值.

若,则存在，则有

.

故对任意,都有，所以为在内的最大值.

定理4设在有界区域上函数连续，对任意，任意，时，存在；且存在，对任意，则函数在内能取得最小值.

证明方法同理与定理3.

定理5设在有界区域上函数连续，对任意，任意，时，有，则函数在内能取得最小值.

证明先证有下界.若无下界，则存在，使.因为有界，故存在收敛子序列，满足，且.

若，则，这与矛盾.

若，则，这与矛盾.

故有下界.现设，可证存在点，使.如果不然，对任意点，都有.可设

.

定义如下：

则连续（证明方法同定理1证明过程中连续的证明）.

又因在上不能达到下确界，所以存在点列，使.因为有界，故存在收敛子序列，满足，，由于在上连续，得

.

因为，由的定义，得

.

这与前面相矛盾.从而证得函数在内能取得最小值.

定理6设在有界区域上函数连续，对任意，任意，时，有，则函数在内能取得最大值.

证明令，则，根据定理5可知，在内能取得最小值，则在内能取得最大值.

定理7设在无界区域上函数连续，如果，则函数在上取得最小值.

证明因为,所以任取,对常数,存在，当时，有.

设，则为有界闭集．由于在上连续,则在上连续,而为有界闭区域,所以在上必取得最小值,设为，对任意,有.

综上所述,取,对任意,有,其中当时,；当时,.

定理8设在无界区域上函数连续，如果，则函数在上取得最大值.

证明令，则，根据定理7可知，在内能取得最小值，则在内能取得最大值.

定理9（零点存在性定理）设函数在道路连通区域上连续，且在的两点和上的值异号，即，则在内连接和的一条道路上，一定存在点.

证明（方法一）由于区域具有道路连通性，故中存在一条从的道路，设由于在区域上连续，由复合映射的连续性可知，也是连续的，记，则有

.

由一元函数的零点存在性定理知，存在.即

.

令.从而定理得证.

方法二（反证法）假设在上不存在点，使得，则对任意.由连续函数的保号性，存在时，同号.设为的连通闭子集，且，令=﹛|是的闭子区域且是某个的子集﹜，则是的一个完全覆盖.由完全覆盖引理，包含的一个分割，而与有公共界点.由于在上不变号，故若在上，便可由与有公共界点推出在上有，由此依次可推出在所有的上都有.从而，，则.这与定理条件的矛盾.从而定理得证.

定理10（介值性定理）设函数在道路连通区域上连续，若为内任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点.

证明令，则在区域上连续，且

，

根据定理9，在区域必存在点，使得

，

即,有.

定理得证.

定理11设在区域上函数连续，则必定是一个区间.

证明在区域上任取两点，且，根据定理10知，存在，使得，满足

.

于是,

.

所以，是一个区间.

定理12设在有界区域上函数连续，对任意，任意，时，存在，则函数在上一致连续.

证明（方法一）将函数在闭区域上作连续延拓，令

，其中，.

由定理1的证明过程可知，函数在上连续，则由推论3可知，在有界闭区域上一致连续，从而在上一致连续，由于时，，因此函数在区域上一致连续.

（方法二）假设在上不一致连续，则存在，对于任意小的，总有相应的，，虽然，但仍有.

由于为有界区域,因此存在收敛子列,并设