正态分布题型.doc

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27正态分布（正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布）

【知识要点】

1.正态曲线

其中实数为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

2.正态曲线性质：

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；

（3）曲线在处达到峰值；

（4）曲线与x轴之间的面积为1；

（5）当一定时，曲线随着德变化而沿x轴平移；

（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

μ=E，σ=D。

3.正态分布：

一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足

则称X的分布为正态分布，记作，如果随机变量X服从正态分布，则记为。

4.标准正态分布:

当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，

其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）

，当时，；

而当时，Φ（0）=0.5

Φ（0）=0.5；Φ

（1）=0.8413；Φ

（2）=0.9772；Φ（3）=0.9987

5.转化为标准正态分布的方法：

如果随机变量，，那么

x

y

O

6.两个重要公式：

①　　　②

7.正态分布的原则：

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，简称之为原则

题型一：

正态分布概念与性质

1.设两个正态分布和的密度

函数图像如图所示。

则有（）

A． B．

C．D．

2.给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）

（２）

3.设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（C）

（A）　　　　　（B）　

（C）的渐近线是　　　（D）　～

4.随机变量，，那么相应的正态曲线f（x）在x=时达到最高点。

其最大值是；落在区间里的概率是。

5.工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布，则不属于这个尺寸范围的零件约占总数的

6.某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态

分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（　　）

Ａ．甲学科总体的方差最小

Ｂ．丙学科总体的均值最小

Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中

Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同

7.设，当在内取值的概率与在内取值的概率相等时，　　．

8.若随机变量,则在区间上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的概率

（）

9.设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）＋P（ξ＜1）＝1，则μ的值为（D）

A．－1 B．1 C． D．

y

O

-a

x

题型二：

正态分布的计算问题

1.下图是正态分布N∽（0,1）的正态分布曲线图，下面4个式子中，

能表示图中阴影部分面积的有个

①②③④

（A）1（B）2（C）3（D）4

2.设随机变量服从正态分布，记，则下列结论不正确的是（D）

AB．C。

D．

3.已知正态总体，

（1）求取值小于3的概率;

（2）求P（|x|≤3）.（3）求P（-4≤x≤7）

解

（1）

（2）P（-3≤x≤3）=F（3）-F（-3）=2F（3）-1=0.6826

（3）P（-4≤x≤7）

4.设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），记φ（x）＝p（ξ

①φ（0）＝0．5；②φ（x）＝1－φ（－x）；③p（｜ξ｜<2）＝2φ

（2）－1。

则正确结论的序号是___①②③__________

5.某学校在一次数学基础测试统计中,所有学生成绩服从正态分布（单位：

分），现任选一

名学生,该生成绩在分到104分内的概率是（D）

A．B．C．D．

6.若φ（3）=0.9987，则标准正态总体在区间（－3，3）内取值的概率为（B）

A．0.9987B．0.9974C．0.944D．0.8413

7.已知随机变量服从正态分布，，则（A）

A． B． C． D，

8.设，则落在内的概率是（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

9.（07安徽卷,10）以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（）

A.B.C.D.

10.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（B）

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；

C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；

D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.

11.设随机变量，且，则=（B）

12.（07全国卷Ⅱ,14）:

在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在内取值的概率为0.4,则ξ在内取值的概率为----------。

13.设随机变量服从标准正态分布。

已知，则（C）

A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975

14.在正态分布N中，数值落在（－∞，－1）∪（1，＋∞）内的概率为（　　）．

A．0.097B．0.046C．0.03D．0.0026

题型三：

正态分布的实际应用

1.在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即。

（1）试求考试成绩位于区间（70,110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？

2.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？

（）

3.（06湖北）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。

已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可共查阅的（部分）标准正态分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.888

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857

解：

（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N（70，100），由条件知，

P（≥90）＝1－P（<90）＝1－F（90）＝1－＝1－

（2）＝1－0.9772＝0.228.

这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，

参赛总人数约为≈526（人）。

（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P（≥x）＝1－P（

4.2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________

5.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？

6.（2014课标1）

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