有限差分法Word文件下载.docx

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每一个带有未知数的节点都必须有一个代数方程，在节点以及相邻节点上的未知数之间建立联系。

这个代数方程用在接点处用有限差分近似代替偏导数的形式获得。

对于Dirichlet边界条件，边界上不需要代数方程，，对于其他边界条件，则必须将边界条件离散以得到所需的代数方程。

有限差分的概念是从导数的定义中得到的：

（2.2）

几种常用的差分格式：

向前差分（forwarddifference）

（2.3）

向后差分（backwarddifference）

（2.4）

中心差分（centraldifference）

（2.5）

2.3一阶导数的近似

（2.1）式中的对流项需要对一阶导数进行离散。

2.3.1Taylor级数展开法

任意的连续函数（x）可在xi的领域内展开成Taylor级数

（2.6）

H为高阶项，用xi－1，xi＋1代替x这些点处的函数值在xi附近的展开式。

利用这些展开式可得一阶和高阶导数在xi的近似表达式。

例如

（2.7）

或者是：

（2.8）

（2.9）

当网格间距较小时，高阶项很小，在各级数中截取第一项，得：

（2.10）

（2.11）

（2.12）

上面三个公式依次是FDS（forwarddifferencescheme），BDS（backwarddifferencescheme），CDS（centraldifferencescheme）被截去的项称为截断误差。

FDS和BDS为一阶精度差分格式，当网格均匀时，CDS具有二阶精度。

2.3.2多项式拟合法

在构造差分格式时，也可以用多项式曲线（或样条曲线）来拟合函数，然后用拟合曲线的导数来近似原函数的导数。

例如采用抛物线拟合xi-1,xi,xi+1三点，可得：

（2.13）

采用不同的插值曲线可获得不同的差分格式，如

（2.14）

（2.15）

（2.16）

（2.14）~（2.16）依次为三阶精度的BDS，FDS和4阶精度的CDS

2.3.3迎风格式

对于发展方程：

（2.17）

方程的解为：

当x-at=常数时，u为常数，利用这一特性可得

（2.18）

利用线性插值：

（2.19）

由此可得差分格式：

（2.20）

由于，

（2.21）

整理得：

（2.22）

当a<

0时，同理可得：

（2.23）

结合（2.22）和（2.23）可得：

（2.24）

（2.24）式中，a相当于流体力学动量方程中的速度u，差分格式（2.24）反映了上游对下游影响较大这一事实，这种差分格式称为迎风格式（upwindscheme）

2.4二阶导数的近似

方程（2.1）中的扩散项为二阶导数项，二阶导数可以用一阶导数的差分得到，也可以用Taylor级数法得到二阶导数的差分。

采用Taylor级数法可得二阶导数的差分

（2.25）

也可以用一阶偏导数的差分得到：

（2.26）

2.5混合导数的近似

混合偏导数的差分可以用一阶导数的差分得到

（2.27）

2.6边界条件

在网格的内点，用差分格式来离散PDE，为了得到唯一的解，还需要在边界点上给出边界信息。

对于Dirichlet边界条件，边界上的值直接给出，无需用新的方程。

对于Neumann边界条件和混合边界条件，则需在边界上对边界条件进行离散。

对于邻近边界的内点，当采用高阶精度格式时，其差分格式也应作特殊处理。

（2.28）

（2.29）

在边界上

（2.30）

采用高阶差分格式

（2.31）

如果网格是均匀的，（2.31）简化为：

（2.32）

2.7有限差分法的应用实例

例1．一维扩散方程

（2.33）

采用均匀网格，将直线段均匀划分为N份，网格节点，，网格间距，时间步长为。

空间扩散项采用中心差分格式：

对于时间项则分别采用三种不同格式：

A：

FTCS格式（时间向前差分，空间中心差分）

上式中物理量的上标表示时间步。

令

（2.34）

边界条件：

（2.35）

由于采用时间推进算法，在计算n＋1时间层时，n时间层已求解完毕，（2.34）式可以根据上一时间层的结果直接获得当前时间层的物理量而无需求解代数方程组，这样的差分格式称为显格式。

B：

CTCS格式

（2.36）

整理后得：

（2.37）

边界条件为（2.35）式。

注意到（2.37）式中每个方程有3个未知量：

、和，需要求解联立代数方程组。

当差分格式离散代数方程组中具有多个未知元素而需要通过求解代数方程组的形式来获得数值解时，这种差分格式成为隐格式。

（2.37）式写成矩阵形式为：

（2.38）

系数矩阵为三对角矩阵，可通过追赶法求解。

通过计算机编程的方式对上面的两种差分格式进行求解

取，这样，取不同的条件数进行数值求解，具体计算结果见程序“CFD271”的运行结果。

（此时运行程序“CFD271”，通过实际算例演示两种差分格式数值解的差别）

结论：

当时，FTCS格式计算发散，CTCS格式在任意条件数时计算结果都收敛。

（通过对实际计算发现问题，引出下一节：

差分格式的稳定性分析）

2.8差分格式的稳定性分析

2.8.1VonNeumann方法

讨论差分格式（2.34）的稳定性：

记，利用n+1时间层的方程可得：

（2.39）

将求解域向x轴正负方向作周期性延拓，把u，e看作周期函数，展开成富氏级数：

（2.40）

代入（2.39）得：

（2.41）

（2.42）

利用富氏级数的正交性可得：

（2.43）

误差放大因子

（2.44）

即

再讨论隐格式（2.37）的稳定性，误差方程为：

（2.45）

将（2.40）代入（2.45）得：

（2.50）

放大因子

（2.51）

差分格式无条件稳定。

（比较显格式和隐格式的有缺点）

2.8.2几种常用差分格式的稳定性

2.9差分格式代数方程组及其求解方法

（注：

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