数形结合思想在解题中的应用包含30例子_精品文档.doc

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数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：

①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

例1.

分析：

，

例2.

解：

法一、常规解法：

法二、数形结合解法：

例3.

A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个

分析：

出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.

分析：

例5.

分析：

构造直线的截距的方法来求之。

截距。

例6.

分析：

以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

例7.

MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）

分析：

①设椭圆另一焦点为F2，（如图），

又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，

∴ON是△MF1F2的中位线，

②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8.

分析：

例9.

解法一（代数法）：

，

解法二（几何法）：

例10.

分析：

转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：

第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

相切于第一象限时，u取最大值

【模拟试题】

一、选择题：

1.方程的实根的个数为（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）

A. B.

C. D.

3.设命题甲：

，命题乙：

，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.不充分也不必要条件

4.适合且的复数z的个数为（）

A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

5.若不等式的解集为则a的值为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知复数的最大值为（）

A. B. C. D.

7.若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（）

A.（0，1） B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2]

8.定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（）

A. B.

C. D.

二、填空题：

9.若复数z满足，则的最大值为___________。

10.若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。

11.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

12.函数的最小值为___________。

13.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：

14.若方程上有唯一解，

求m的取值范围。

15.若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。

16.设，试求下述方程有解时k的取值范围。

【试题答案】

一、选择题

1.C

提示：

画出在同一坐标系中的图象，即可。

2.D

提示：

画出的图象

情形1：

情形2：

3.A

4.C

提示：

|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。

5.B

提示：

画出的图象，依题意，从而。

6.C

提示：

由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，

而

表示复数对应的点的距离，

结合图形，易知，此距离的最大值为：

7.C

提示：

令，

若a>1，两函数图象如下图所示，显然当时，

要使，只需使，综上可知

当时，不等式对恒成立。

若，两函数图象如下图所示，显然当时，不等式恒不成立。

可见应选C

8.A

提示：

f（x+2）的图象是由f（x）的图象向左平移2个单位而得到的，又知f（x+2）的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f（x）的图象关于直线x=2对称，由f（x）在（）上为增函数，可知，f（x）在上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二、填空题：

9.

提示：

|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为。

10.

提示：

由知，f（x）的图象关于直线x=2对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f（x）的图象，易知的大小。

11.

提示：

设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使

12.最小值为

提示：

对，联想到两点的距离公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。

13.

提示：

y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即。

三、解答题：

14.解：

原方程等价于

令，在同一坐标系内，画出它们的图象，

其中注意，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。

注：

一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15.解：

令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集

因此，只需要

∴a的取值范围为（2，+）。

16.解：

将原方程化为：

，

∴

令，它表示倾角为45°的直线系，

令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，

∵原方程有解，

∴两个函数的图象有交点，由下图，知

∴

∴k的取值范围为

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

我国著名数学家华罗庚曾说过：

“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：

或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：

第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。

由于这“以数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。

“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。

学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。

“以形助数”中的“形”，或有形或无形。

若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。

因此“以形辅数”的途径大体有三种：

一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。

以下我将从“数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种思想方法。

1.数形结合思想的应用

1.1在方程、函数问题中的应用　

方程f（x）–g（x）=0的解情况，可化为f（x）＝g（x）的解情况，也可看作函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。

对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。

例１　抛物线与x轴的两个交点为Ａ、Ｂ，点Ｑ（4，8k）在抛物线上