成都市八年级下学期第一章三角形的证明培优含规范标准答案详解Word下载.docx
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5.如图,已知:
∠MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则B6B7的边长为( )
A.6B.12C.32D.64
6.如图,在平面直角坐标系中,等边△OBC的边OC在x轴正半轴上,点O为原点,点C坐标为(12,0),D是OB上的动点,过D作DE⊥x轴于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时,点D的坐标为( )
A.(1,)B.(2,2)C.(4,4)D.(8,8)
7.如图,在平面直角坐标系中,有一个正三角形ABC,其中B、C的坐标分别为(1,0)和C(2,0).若在无滑动的情况下,将这个正三角形沿着x轴向右滚动,则在滚动的过程中,这个正三角形的顶点A、B、C中,会过点(2018,1)的是点( )
A.A和BB.B和CC.C和AD.C
8.如图,在等边△ABC中,AB=6,∠AFB=90°
,则CF的最小值为( )
A.3B.C.6﹣3D.3﹣3
9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,将含30°
角的Rt△ABC放在第一象限,其中30°
角的对边BC长为1,斜边AB的端点A,B分别在y轴的正半轴,x轴的正半轴上滑动,连接OC,则线段OC的长的最大值是( )
A.B.C.2D.
10.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°
,∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:
①∠APB=45°
②PF=PA;
③BD﹣AH=AB;
④DG=AP+GH.其中正确的是( )
A.1B.2C.3D.4
二.填空题(共10小题)
11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,过点D作DF⊥BC于点F,且BD=BC=AD,则∠CDF的度数为 .
12.一个等边三角形,一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置,等腰三角形的底角∠3=80°
,则∠1+∠2= .
13.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°
,点D在线段AB上运动(D不与A,B重合),连接CD,作∠CDE=30°
,DE交BC于点E.若△CDE是等腰三角形,则∠ADC的度数是 .
14.我们将顶角为A,腰为a的等腰三角形记作“等腰三角形[a,A]”(a≥0,0°
<A<180°
)如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形[1,60°
]”,那么“等腰三角形[1,90°
]”的周长为 .
15.如图,已知:
,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形,若OB1=1,则△A8B8B9的边长为
16.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠CAB=36°
,在直线AC或BC上取点M,使得△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有 个.
17.如图,在△ABC中,∠ABC=90°
,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为 .
18.如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°
,AC=8,BC=6,沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图2所示).将纸片△ACD沿直线D2B(A→B方向)平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当D1与点B重合时,停止平移.在平移的过程中C1D与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.当△AC1D和△BC2D2重复部分面积等于原△ABC纸片面积的,则平移距离D2D1为 .
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=6,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,若CD=5,则AE= .
20.如下图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,DE垂直平分AB,垂足为E,D在BC上,已知∠CAD=32°
,则∠B= 度.
三.解答题(共20小题)
21.如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=4cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设运动的时间为x秒.
(1)当x= 时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,并求出此时CP= cm;
(2)当x为何值时,△ABP为等腰三角形.
22.如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是BC,DE的中点.
(1)求证:
MN⊥DE;
(2)若BC=20,DE=12,求△MDE的面积.
23.已知:
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°
,点E是AC的中点,点F是BD的中点.
EF⊥BD;
(2)若∠BED=90°
,求∠BCD的度数.
(3)若∠BED=α,直接写出∠BCD的度数.(用含α的代数式表示)
24.已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°
,M、N分别是AC、BD的中点.
MN⊥BD;
(2)在边AD上能否找到一点P,使得PB=PD?
请说明理由.
25.如图,△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M、N分别是线段BC、DE的中点.
(2)连结DM,ME,求证:
∠DME=180°
﹣2∠A;
(3)若将锐角△ABC变为钝角△ABC,如图,上述
(1)
(2)中的结论是否都成立?
若结论成立,直接回答,不需证明;
若结论不成立,直接写出正确的结论.
26.在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图①,若∠BAC=110°
,求∠EAN的度数;
(2)如图②,若∠BAC=80°
(3)若∠BAC=α(α≠90°
),直接写出用α表示∠EAN大小的代数式.
参考答案与试题解析
【解答】解:
将△ABM绕点B顺时针旋转60°
得到△CBH.连接HN.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°
,
∵∠MON=30°
∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN=30°
∴∠NBM=∠NBH,
∵BM=BH,BN=BN,
∴△NBM≌△NBH,
∴MN=NH=x,
∵∠BCH=∠A=60°
,CH=AM=n,
∴∠NCH=120°
∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形,
故选:
C.
如图,延长AP交BC于E,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠EBP,
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠EPB=90°
∴△ABP≌△EBP(ASA),
∴AP=PE,
∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP,
∴S△PBC=S△ABC=×
1=0.5(cm2),
B.
延长BD交AC于点H.设AD交BE于点O.
∵AD⊥BH,
∴∠ADB=∠ADH=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
,∠H+∠HAD=90°
∵∠BAD=∠HAD,
∴∠ABD=∠H,
∴AB=AH,∵AD⊥BH,
∴BD=DH,
∵DC=CA,
∴∠CDA=∠CAD,
∵∠CAD+∠H=90°
,∠CDA+∠CDH=90°
∴∠CDH=∠H,
∴CD=CH=AC,
∵AE=EC,
∴S△ABE=S△ABH,S△CDH=S△ABH,
∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD,
∵AC=CD=3,
∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大,最大面积为×
3×
3=.
①如图1,连接OB,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=×
120°
=60°
∴OB=OC,∠ABC=90°
﹣∠BAD=30°
∵OP=OC,
∴OB=OC=OP,
∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°
故①正确;
②由①知:
∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,
∵点O是线段AD上一点,
∴∠ABO与∠DBO不一定相等,则∠APO与∠DCO不一定相等,
故②不正确;
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°
∴∠APC+∠DCP=150°
∵∠APO+∠DCO=30°
∴∠OPC+∠OCP=120°
∴∠POC=180°
﹣(∠OPC+∠OCP)=60°
∴△OPC是等边三角形;
故③正确;
④如图2,在AC上截取AE=PA,连接PB,
∵∠PAE=180°
﹣∠BAC=60°
∴△APE是等边三角形,
∴∠PEA=∠APE=60°
,PE=PA,
∴∠APO+∠OPE=60°
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°
∴∠APO=∠CPE,
∵OP=CP,
在△OPA和△CPE中,
∴△OPA≌△CPE(SAS),
∴AO=CE,
∴AC=AE+CE=AO+AP;
故④正确;
本题正确的结论有:
①③④
A.
,点A1、A2、A3…