概率论与数理统计期末考试试题及答案.docx
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概率论与数理统计期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：
姓名：
学号：
题号
一
二
三
四
五
六
七八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
）分共18（每题3分一、单项选择题1．D2．A3．B4．A5．A6．B
（1）
（2）设随机变量X其概率分布为X-1012则（）。
?
}?
P{X1.5（A）（B）1（C）0（3）AA设事件与）同时发生必导致事件211A）?
（A?
P（A）P（A）（A）（B2121?
）A）A?
（?
AP（）PA（D）C（（212）4（．
P发生，则下列结论正确的是（AP）P）
1（D）
2））?
P（A?
P（A1P）AP）（A?
（?
1
2?
?
?
?
（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中X?
,XX,?
2）N（,n,21未知，则（）是一个统计量。
nn?
?
222?
?
）（XX?
?
（A）（B）ii1i?
i?
1?
?
X?
（C）（D）
?
X?
22?
?
?
未知。
统计假设）设样本来自总体（6XX,X,?
）,,X~N（n21?
?
?
?
?
则所用统计量为（为）。
?
已知）H?
（：
H：
00001?
?
?
X?
X00?
T?
U（A）（B）?
nnS2nS1）（n?
1?
222?
?
?
）?
（?
X（C）（D）?
i22?
?
1i?
二、填空题（每空3分共15分）
?
x?
xxe?
01.?
2?
f（）x3.2.4.,e3）9tP（B）（1?
?
0?
x0?
P（A）?
0,P（B）?
0,P（AB）?
P（A）P（BA）?
.，则）（1如果
（2）设随机变量的分布函数为X则的密度函数，.?
2）P（X?
f（x）?
X（3）
X,X,?
X是来自总体，设总体4）和相互独立,且都服从的（）10,（NYXX912X?
?
?
X91?
UY,Y?
Y,是来自总体的样本，则统计量样本，Y91222Y?
Y?
?
91。
分布（要求给出自由度）服从
6分）设相互独立，，三、（，求.）?
（A?
0.88BA）?
0.7PP（A?
BA,B）P（解：
=）AB?
P（）?
P（B）P（A?
B）?
P（A=（因为相互独立）……..2分B,AB）?
P（A）P（B）AP（）?
P（=…………3分）B7P（P0.7?
（B）?
0.则………….4分6.）?
0P（B…………6分28.?
07?
0.7?
0.6?
0.6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻（T，各电梯在四、运行的概率均为，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解：
用表示时刻运行的电梯数，则~………...2分）.7b（4,0TXX?
?
?
?
…………4分所求概率0X?
?
1?
P1X?
P004=………….6分?
1）?
（0.7）C（1?
0.74?
x?
x?
0e分6，）设随机变量X的概率密度为五、（?
）f（x?
其它,0?
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：
因为是单调可导的，故可用公式法计算………….1分12x?
y?
当时，………….2分0X?
1?
Yy?
11由，得…………4分?
'x?
x1y?
2x?
22y?
11?
y?
1f（）?
?
22?
从而的密度函数为…………..5分Y?
）f（y?
Y?
0y?
1?
?
?
1y?
1?
?
ey?
12?
2?
…………..6=分?
?
y?
10?
?
8分）已知随机变量和的概率分布为六、（YX而且.
1?
?
XY0}{P
（1）求随机变量和;
的联合分布YX．
（2）判断与是否相互独立?
YX?
?
?
?
，所以解：
因为0?
10P?
PXYXY?
0?
（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
-101
00001
………….4分
111?
?
?
?
?
?
因为
（2）?
?
?
X?
0P0Y?
P0?
?
PX0Y0?
?
224所以与不相互独立YX分8…………
8分）设二维随机变量（的联合密度函数为七、）X,Y（求：
（1）；
（2）求的边缘密度。
）Y?
2P（0?
X?
1,0?
X12?
（3x?
4y）?
?
…………..2分解：
（1）dy12Y0P（?
X?
1,0?
?
2）?
edx00?
?
?
?
2112y4?
3x?
y4?
x?
3?
?
dydxe?
e4?
3=e?
?
e0000?
83?
…………].4分=[][1?
ee?
1?
?
）4?
y?
（3x?
dy（fx）?
12e..6分…………）（2X?
?
?
3x?
x?
3e0?
……………..8分?
0?
x0?
16分）一工厂生产的某种设备的寿命八、（（以年计）服从参数为的指数分X4若工厂售出一台设布。
工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
求工厂出售一台设备净盈利的调换一台设备厂方需花费300元，备盈利100元，期望。
1?
1x?
1?
x?
0e4?
）（xf）~e（X得因为………….2分解：
?
44?
0x?
0?
用表示出售一台设备的净盈利YX?
1100?
…………3分Y?
?
100?
3000?
X?
1?
x11?
?
?
?
?
e?
edx?
100）?
P（Y则44411x1?
?
1?
?
?
e1?
eY?
?
200dx?
?
P..4分………444011?
?
EY?
100?
e?
（?
200）?
（1?
e）所以441?
?
300e200?
（元）………..6分64.?
3348分）设随机变量与的数学期望分别为和2，方差分别为1和九、（4，2?
XY而相关系数为，求。
）Y（2X?
YE（2X?
）,D5?
0.?
?
?
0,.5DX?
1,DY?
4,EX?
?
2EY?
2,解：
已知XY则……….4分6?
2?
2EX2?
EY?
2?
（?
）?
Y（E2X?
）?
……….5分）cov（2XY,2）D?
D（2XY）?
（2X?
DY?
……….6分）XDY2DX?
?
4cov（,Y?
?
DYDXDY?
4?
2?
DX分..8…………=12XY．
7分）设供电站供应某地区（1000户居民用电，各户用电情况相互独立。
十、已知每户每日用电量（单位：
度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。
（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.）x?
（解：
用表示第户居民的用电量，则]200,X~UX[iii2100）?
0（200?
20?
DX?
分………210?
EX?
ii12321000?
X?
X户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理1000则i1i?
?
?
?
?
………3分10100?
1?
P?
XP?
X10100?
?
?
?
101000?
1010100?
X?
1000?
?
?
=………4分?
P1?
?
?
100100?
?
1000?
1000?
?
?
33?
?
10100?
1000?
10?
1?
?
（）……….6分1001000?
33………7分=）?
（?
1107分x,x,?
x是取自总体十一、（的一组样本值，）设的密度函数为XXn12?
?
的最大似然估计。
未知，求其中0?
解:
最大似然函数为
nn?
?
?
?
?
x?
x）1（）,L（x?
x,）?
?
f（……….2分ii1n1i?
?
i1?
n?
）,x,（x（?
?
1）……….=3n1分
则
0?
x,?
x?
1………..4分n1dlnLn?
?
ln（x,?
x）?
0令………..5n1?
?
1?
d分?
的最大似然估计：
于是
n?
?
?
?
1?
。
……….7分lnln（x,?
x）n15分?
服从正态分布，均值（）某商店每天每百元投资的利润率十二、）（1,X~N2?
?
稳定为1为，现随机抽取的，长期以来方差100天的利润，样本均?
的置信水平为95%的置信区间。
（值为，试求,991.（100）?
t5x?
05.0）975.96）?
01?
（.?
?
X?
…………1分解：
因为已知，且）1~N（0,?
n?
?
?
?
X?
?
?
…………2分故?
?
?
U1P?
?
?
?
?
?
2n?
?
?
?
依题意5?
1,?
n100,x?
.U0?
.05,?
196?
2?
的置信水平为95%的置信区间为则?
?
]?
?
Ux?
[xU?
…………4分?
?
nn22即为[,]…………5分
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