步步高高考数学大一轮复习 51平面向量及其线性运算学案 理 苏教版Word文档格式.docx

步步高高考数学大一轮复习 51平面向量及其线性运算学案 理 苏教版Word文档格式.docx

《步步高高考数学大一轮复习 51平面向量及其线性运算学案 理 苏教版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《步步高高考数学大一轮复习 51平面向量及其线性运算学案 理 苏教版Word文档格式.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（7）相等向量：

长度________且方向________的向量．

2．向量的加法运算及其几何意义

（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的____，记作________，即________＝＋＝________，这种求向量和的方法叫做向量加法的____________．

（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________．

（3）加法运算律

a＋b＝________（交换律）；

（a＋b）＋c＝________（结合律）．

3．向量的减法及其几何意义

（1）相反向量

与a________、________的向量，叫做a的相反向量，记作____．

（2）向量的减法

①定义a－b＝a＋____，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．

②如图，＝a，＝b，则＝______，＝______.

4．向量数乘运算及其几何意义

（1）定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝________；

②当λ>

0时，λa与a的方向________；

当λ<

当a＝0时，λa＝____；

当λ＝0时，λa＝____.

（2）运算律

设λ，μ是两个实数，则

①λ（μa）＝________.（结合律）

②（λ＋μ）a＝________.（第一分配律）

③λ（a＋b）＝________.（第二分配律）

（3）两个向量共线定理：

向量b与a（a≠0）共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

5．重要结论

（1）＝（＋＋）⇔G为△ABC的________；

（2）＋＋＝0⇔P为△ABC的________．

自我检测

1．（2010·

四川改编）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.

2．下列四个命题：

①对于实数m和向量a，b，恒有m（a－b）＝ma－mb；

②对于实数m和向量a，b（m∈R），若ma＝mb，则a＝b；

③若ma＝na（m，n∈R，a≠0），则m＝n；

④若a＝b，b＝c，则a＝c，

其中正确命题的个数为________．

3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则用a，b表示为________．

4．（2010·

湖北改编）已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.

5．（2009·

安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.

探究点一　平面向量的有关概念辨析

例1　①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.

以上命题中正确的个数为________．

变式迁移1　下列命题中正确的有________（填写所有正确命题的序号）．

①|a|＝|b|⇒a＝b；

②若a＝b，b＝c，则a＝c；

③|a|＝0⇒a＝0；

④若A、B、C、D是不共线的四点，则＝⇔四边形ABCD是平行四边形．

探究点二　向量的线性运算

例2　已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：

＝（＋）．

变式迁移2　如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，，＋.

探究点三　共线向量问题

例3　如图所示，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：

M、N、C三点共线．

变式迁移3　设两个非零向量e1和e2不共线．

（1）如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：

A、C、D三点共线；

（2）如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

1．若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则＝（＋）．如图所示．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

3．三点共线的性质定理：

（1）若平面上三点A、B、C共线，则＝λ.

（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是________（填上正确的序号）．

①＝＋；

②＝－；

③＝－＋；

④＝－－.

2．设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则使＝λ成立的λ值为________．

3．设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：

①若a与b共线，则b＝λa；

②若b＝－λa，则a与b共线；

③若a＝λb，则a与b共线；

④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.

其中正确的结论有________（填上正确的序号）．

4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则用b，c表示为________．

5．（2010·

广东中山高三六校联考）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.

6．（2009·

湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝______，y＝_______.

7．已知＝a，＝b，＝λ（λ≠0），则＝_________.

8．O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足＝＋λ（＋），λ＝时，则·

（＋）的值为________．

二、解答题（共42分）

9．（14分）若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一条直线上？

10．（14分）在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.

11．（14分）已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．

（1）求＋＋；

（2）若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：

＋＝3.

答案自主梳理

1．

（1）大小　方向　

（2）有向线段　（3）大小　|a|　||　（4）任意的　（5）1个　±

　（6）相同　相反　非零　共线向量　平行　（7）相等　相同　2.

（1）和　a＋b　a＋b　　三角形法则　

（2）平行四边形法则　（3）b＋a　a＋（b＋c）　3.

（1）长度相等　方向相反　－a　

（2）①（－b）　相反向量　②a＋b　a－b　4.

（1）λa　①|λ||a|　②相同　相反　0　0　

（2）①（λμ）a　②λa＋μa　③λa＋λb　5.

（1）重心

（2）重心

1．2

解析　由2＝16，得||＝4，

|＋|＝|－|＝||＝4.

而|＋|＝2||，故||＝2.

2．3

解析　①根据实数与向量积的运算可判断其正确；

②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；

③正确；

④由于向量相等具有传递性，故④正确．

3．－a＋b

解析　由＝3得4＝3＝3（a＋b），

又＝a＋b，所以＝（a＋b）－

＝－a＋b.

4．3

解析　由题目条件可知，M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝，①

因为AD为中线，则＋＝2＝m，

即2＝m，②

联立①②可得m＝3.

5.

解析　设＝a，＝b，

那么＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，

∴＝（＋），即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

课堂活动区

例1　0

解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；

②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．

变式迁移1　②③④

解析　①模相同，方向不一定相同，

故①不正确；

②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；

③只有零向量的模才为0，故③正确；

④＝，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．

例2证明　方法一　如图所示，

在四边形CDEF中，

＋＋＋＝0.①

在四边形ABFE中，

＋＋＋＝0.②

①＋②得

（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＝0.

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴＋＝0，＋＝0.

∴2＝－－＝＋，

即＝（＋）．

方法二　取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．

∵E为AD的中点，∴＝.

∵F是BC的中点，∴＝（＋）．

又＝＋，∴＝（＋＋）

＝（＋）＋

∴＝－＝（＋）．

变式迁移2　解　＝＋＋

＝－a＋b＋c，

∵＝＋＋，

＝－＝－c，＝－＝－b，

＝＝a，∴＝a－b－c，

＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.

例3　解题导引　

（1）在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．

（2）向量共线的判断（或证明）是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．

证明　在△ABD中，＝－，

因为＝a，＝b，所以＝b－a.

∵N点是BD的三等分点，

∴＝＝（b－a）．

∵＝b，∴＝－

＝（b－a）－b＝－a－b.①

∵M为AB中点，∴＝a，

∴＝－＝－（＋）

＝－＝－a－b.②

由①②可得：

＝.

由共线向量定理知：

∥，

又∵与有公共点C，

∴M、N、C三点共线．

变式迁移3　

（1）证明　∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，

∴＝＋＝e1－e2＋3e1＋2e2

＝4e1＋e2＝－（－8e1－2e2）＝－.

∴与共线．

又∵与有公共点C，∴A、C、D三点共线．

（2）解　＝＋＝（e1＋e2）＋（2e1－3e2）

＝3e1－2e2，

∵A、C、D三点共线，∴与共线，

从而存在实数λ使得＝λ，

即3e1－2e2＝λ（2e1－ke2）．

由平面向量的基本定理得

解之，得∴k的值为.

课后练习区

1．②

解析　由减法的三角形法则知＝－.

2．2

解析　＝＋＋＝a＋2b＋