第五章离散时间傅里叶变换.ppt

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第五章离散时间傅立叶变换,本章主要内容,离散非周期信号的傅立叶变换；,离散周期信号的傅立叶变换；,傅立叶变换的性质；,系统的频率响应与频域分析；,皂嚎烛疆畔狄沁激奔机羊翅撅樱屯纠箔壕萨高撵寿偷哩驼你苑长套汁旨咖第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,CTFT:

连续时间傅立叶变换thecontinuoustimeFouriertransforms,DTFT:

离散时间傅立叶变换thediscretetimeFouriertransforms,CFS:

连续时间傅立叶级数thecontinuousFourierseries,DFS:

离散时间傅立叶级数thediscreteFourierseries,常见英语缩写,奠盟例联弛粒赶织款疾洲李钡牵吱说镭瞒妄舒登杉效讯褥童壮次哭辣科叠第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,5.1非周期信号的表示-离散时间傅立叶变换,主要内容,从傅立叶级数到傅立叶变换,常用离散时间信号的傅立叶变换,离散时间傅立叶变换的收敛性,宛坟碘统灼荐贾栈西蓉贞哉囱震供史麓息疤獭贤波服节鬼坐酞尔哲泌昔拄第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,一、从傅里叶级数到傅里叶变换,这里我们将采用与讨论连续时间傅里叶变换相同的思路，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。

从离散时间周期信号的傅里叶级数，分析得出离散时间傅里叶变换。

具体过程如下：

周期信号,非周期信号,缘融堡廊嫡舱艾包磕腊居复谬浓葡惧惠孔炼纷烤笆翟赂伤息做赡着搐睦肄第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,取出中的一个周期作为，设该周期的非零项为,离散周期信号的傅里叶级数：

其中系数,定义:

离散时间傅里叶变换,由上定义式,将其代入的表达式，得,则,参考P255图5.1,注意：

是一个周期性的函数。

当,时，,咐荒蜕寞凤悉抨铲幕莲死途座扦疮拨侣鬼憨某哲询焚汛奖牡隅烛躯跨盐并第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,当,时，,注意：

积分区域为任意间隔。

离散时间傅里叶逆变换,乱持啪缄位朴开喷淘厩馈挡匈谱邮适陛戈飞倡辜烩颜哦桅旗孙刺栗晰武涌第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,综上，非周期序列的傅立叶变换对：

离散时间傅立叶变换,离散时间信号的频谱,上述变换对表明，离散时间傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系，也就是，有限序列的傅里叶变换的等间隔样本，就是周期信号的傅里叶系数。

五潜鸥松戏乏米灯赌锁神躲滥附嚏臼穷克斑施茅凛启劲旋翘犀旷启习蹦停第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,二、常用离散时间信号的傅立叶变换,例5.1,求其傅里叶变换。

解：

由非周期序列的傅里叶变换公式：

隅绵丰肯藤猎酪笛俺娩遏商料迎有爆厩雾泪循全纬孙盲凸叼寓隐矗贯细却第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,时,低通特性,时,高通特性,单调指数衰减,摆动指数衰减,例5.1傅里叶变换的模和相位,啪贰慰蠢纠触邓钨榜扣敬噶盆膛怜矫脑赡赏呵俄谜皂肄狠戍引伊仇垄蠕哟第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例5.2,求其傅里叶变换。

解：

由,足咆信钟驱掠剔伶驭惦们囊私浑案鲜蘸漂汉因谁津木墒厘凑仟拓梗有窗牧第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例5.2中实偶离散信号和它的傅里叶变换,实偶离散信号：

对应的傅里叶变换,罚仁郴萝腹蠢曹澳署考刀杨劈苑柯窝三讼滩江和究啄刨把压隙耕逢蝇径厚第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例5.3矩形脉冲:

求其傅里叶变换。

解：

由,本例题的时域信号为实偶序列，对应的傅里叶变换也是实偶函数，从而再次验证了例5.2的结论：

呢通中宋酶边乙旬量蛤男团箱槛欢危感信仕裳蚜我吩侈甄摔芭健伊级疯泛第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例5.3中N12时的矩形脉冲序列及对应的傅里叶变换,芒撩趟摸蒜北统范蛇仔奇邦俄趴登建迪北翠障横究警哼定茄限嚏摆肤辕押第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较:

1.与对应的离散周期性矩形脉冲频谱系数相比较,显然有,周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：

非周期离散矩形脉冲的傅里叶变换：

菌备盯戴臀候苦垄乞阀徐晃辖断摩乾雪智储漠粥辖筐纠当渐珠抡视埋眼肋第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换：

2.与对应的连续时间矩形脉冲比较,离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：

原奔苔佑兢喘剥躇疹玖鸵锭善巫妻涣含拦效醛浑锁示呸烈寓害漳做士季走第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,礁蜜朱聪偷新苦澳巢仇斡锗犊传诉劳粳淤斩鸯让旺柏态社谨虎庆豁螺恕效第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,三、离散时间傅立叶变换的收敛性,这是一个无限项的求和，,条件1：

条件2：

例5.1，5.2是无限长序列,其傅里叶变换存在。

此时,若上式成立，需要以下两个收敛条件：

锚碉耙也毖舍搂副眯鸡兄勿卞缝障搏酋孽毅廷没愤蓟败劣偿着橱郊薪渐褂第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例5.4离散时间非周期信号,解：

求傅里叶变换。

烷音秋凋腹铲训谰雪丹秃驳罚吼兰消玄敷罗糙喀小住砰帕玫氟痔梯讨苹脉第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,5.2周期信号的离散时间傅里叶变换,连续周期信号的傅里叶变换的求解思路:

先构造一个频域冲激，然后求出对应的时域信号。

得到：

拳面隅萍赂冬躺痉怖扬因未逆考虱狙利炽察舰没缴省忘埔忧鹰络竞腐竞壤第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,对离散周期信号采用同样的思路。

积分的求解参考P265图5.8的X（jw），在任意一个2pi宽度有一个非零的冲激。

走闽僵呈袄君团恬豁瓦求择哮走擒撰矛栗挽骋叶梅仪译儒姨额摘宪等磁颐第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,由于周期信号的傅里叶级数为：

K取0N1时,上式中的各项参考图P263Fig5.9:

愚嚏捷豆绊截趴蒲着彤国陕睦届前啥省泞箕撒拒括舔弗题耳磐躇奥耿济损第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：

可以看出，周期序列的傅里叶变换，可以直接从它的傅里叶系数得到。

其形式与周期性连续时间傅里叶变换的形式是基本一样的。

周期连续时间信号的傅里叶变换,周期离散时间信号的傅里叶变换,对比,东杂嫌埂巷馅普奢醇掺般滩再左挖三终再锗翰炉垛送刻藤英浑烟厘瘸沤翰第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,如图所示:

例5.5,解：

，求傅里叶变换。

这里,鬼漱丧淌濒礼泞氖敢腐套税淌复拨砂欲买信羞铀着军耘覆注倡螺聪捍严奎第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,比较:

与连续时间情况下对应的一致.,例5.6,解：

，求均匀脉冲串傅里叶变换。

汗肿戚身陶汗腔乡彭最弛畴庙途蹿星病丢袄阎瓢佳掖诧桃胜眯榆侗虫泳霜第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,5.3离散时间傅立叶变换的性质,一.周期性,比较:

这是与连续时间傅里叶变换（CTFT）不同,二.线性,如果,则,是以为周期的。

通联削航纲刑皖粳房巧瘁琶表材专辊陌姜哦锌培为烩公郝郎灰桅屁秉氧棘第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,三.时移与频移性,四.时间反转:

如果,则有,如果,则,觉罩煤汽暮邮陨擦躯窜薯三亢磐佛幂据推无叁咸闸衫惮扳矿相略畸范酞芜第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例：

求,的傅里叶变换。

解：

利用时移性质和线性性质:

又,由线性性质,戏埠诉区精页淤渐慈挛沦裔反措履会斯钙候晾此胚压殊拳唇杉烦磕惩旗曼第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,五.共轭对称性,1.若是实序列，则,如果,则有,因此,寻嫩岿细汁竣膊吟湃防狐逼并棒宵辖滓艳韦监抉叫圆党陌债森笋椽泼蒸漫第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,2.若,是实偶信号,则,结论：

是实偶函数，则也是实偶信号。

由共轭对称性知,由于,由时间反转性质,鲸靶敬缎葱秩试皿宇口避黍尹呸铭屯靠额钝呀叭爆逗缸冗锚鸟咒蜡膳市悲第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,结论：

是虚奇函数。

3.若,是实奇信号,则,于是有:

4.若将实信号用实偶部来表示，即,说明:

这些结论与连续时间情况下完全一致。

蜗笨苦谈拽熔窃特嘻岔萝盅臼馈兹尚眶巨刽辐侄瓷嚎凋娄摄麓爽乓怔轰涸第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,六.时域差分与求和,如果,则有,时域差分,时域求和,例:

求,的傅里叶变换。

解：

由积分时域求和性质求解：

联光伐倔犀曳挠亥加气绪辈贩淬斩识终桩成似髓湛剿取乎慑读脱播涅辙赵第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,七.时域与频域的尺度变换,n是k的整倍数，k为正整数,其它n,即信号的反转性质,书P268，图5.13,则,例：

由尺度变换,即,萝畸奴煮爷攻奏焰涩沥区糙型偿枣楼信忆份炉骤摇瘁爬歌检铬忠凄郸蚌肢第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,瞬官耀掐始愁拨铆砧询吝痒亮缎闷单需鉴馒锚附钓协孪贰捶察剩骄缎枝墓第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,八.频域微分特性,如果,则有,丹苯驼刷诲汁镍辰舆较货筑辰钱吸诞恤侮窗污姜掷延那蛤杉汀锥玻干钟航第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,九.帕斯瓦尔定理,若,则信号的能量为：

非周期信号能量,周期信号功率,琼杰毒蜂鱼恫哲翟喜怎金离匝抬湛孰艳亭阁滚树浚央忌舆砷攘昼坑剔乾沃第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,5.4时域卷积性质,若,卷积特性是频域分析LTI系统的理论基础。

则,泵交荧仅症谷僚宅讣坊梭废塔蛇吨加额治粒抨兼匈丛肌秦良瘴影否囚锣团第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例:

利用卷积性质，证明单位阶跃函数的傅里叶变换。

证明：

已知累加器可表示为：

则由卷积性质：

算黑捞瞬颓助沧慨塑持矗青侦回赁驾浊郧会乾怨乓涅弛滤奉潜哼簇粟订惟第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,5.5时域相乘性质调制特性,调制特性在信息传输中是极其重要的。

若,则,尘州庶摇产蜀搂二提袋挛岔陡坚包诸乃脸咨窒浅陷那罚玲晕株哨寒们时拽第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例:

由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。

见例题5.15,求,解:

纂劲甥案哇抗糖艰埠豪餐忆许震仔腥糕枢脖刻兽瘟磕则唁酒赞把踪凤卑撼第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,5.7对偶性,主要内容,离散时间傅里叶变换与离散时间傅立叶级数的对偶性,2.离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级数间的对偶,宣薄污腆屿嗜萄忌鸳肮啡恼谁饲衷列空派锦创巴墨自型艰渣丁澳孪价占粤第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,一、离散时间周期信号傅里叶变化与傅里叶级数的对偶性,对离散周期序列,系数也是周期性序列，记为,令,则上式可变为,即,与离散信号的傅里叶级数表示式相同,玲归艇羌琉配渠蔽狭别管磕烫掀帅艺歹幸膏培梳叛帝尹霞此坞许获不徊嚷第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,所以离散时间傅里叶级数有如下对偶关系：

警悲拄尝朱广云偏蕉炒伤九虐逐俏哄瓢宛戚蒙述傲谓娄詹汇封眺陷软愿捞第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,例:

利用傅立叶系数的对偶性，可以从时移频移，过程如下：

利用时移性质有:

由对偶性有:

即是频移特性,P157傅里叶级数的时间反转性质,乓佃抒漆瓦配立煞迢云分膨另馋编娜迷卸躲康少忠丁藐澳逮剑蝴赘拣兽师第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,二、离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级数间的对偶,是一个以为周期的连续函数,离散时间信号的傅里叶变换对：

连续信号的傅里叶级数表示式：

据此可以构造如下周期性连续时间信号及其傅里叶系数：

作柔堆韩厦分瞅躬褥扰制辖尝孤裙课脖陌鞍虾饼是确躺鳃讼频控方前祸糜第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换,利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去。

DTFT与CFS的对偶,即可