届江苏高考数学文总复习讲义导数与函数的单调性Word文件下载.docx
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由题意得,f′(x)=-x+≤0在[2,+∞)上恒成立,即b≤x2在[2,+∞)上恒成立,∵函数g(x)=x2在[2,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g
(2)=4,∴b≤4.
(-∞,4]
[典例引领]
(2018·
南京学情调研)已知函数f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R.
(1)当a=b=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当b=2a+1时,讨论函数f(x)的单调性.
解:
(1)因为a=b=1,所以f(x)=x2-x+lnx,
从而f′(x)=2x-1+.
因为f
(1)=0,f′
(1)=2,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)因为b=2a+1,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx(x>0),
从而f′(x)=2ax-(2a+1)+==.
当a≤0时,由f′(x)>0,得0<x<1;
由f′(x)<0,得x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当0<a<时,由f′(x)>0,得0<x<1或x>;
由f′(x)<0,得1<x<,
所以f(x)在(0,1)和上单调递增,在上单调递减.
当a=时,因为f′(x)≥0(当且仅当x=1时取等号),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>时,由f′(x)>0,得0<x<或x>1;
由f′(x)<0得<x<1,
所以f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
[由题悟法]
判断函数单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x),并求方程f′(x)=0的根;
(3)利用f′(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f′(x)的正负,由f′(x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性.
[提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
[即时应用]
已知函数f(x)=x3-ax-1,讨论f(x)的单调性.
f(x)的定义域为R.f′(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上为增函数.
②当a>0时,令3x2-a=0,得x=±
,
当x>或x<-时,f′(x)>0;
当-<x<时,f′(x)<0.
因此f(x)在,上为增函数,在上为减函数.
综上可知,当a≤0时,f(x)在R上为增函数;
当a>0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.
已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,其中a∈R,e是自然对数的底数.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调减区间.
(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex,所以f(0)=1.
因为f′(x)=(x2+3x+2)ex,所以f′(0)=2.
所以切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.
(2)因为f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex,
当a=2时,f′(x)=(x+2)2ex≥0,所以f(x)无单调减区间.
当-a>-2,即a<2时,列表如下:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,-a)
-a
(-a,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的单调减区间是(-2,-a).
当-a<-2,即a>2时,列表如下:
(-∞,-a)
(-a,-2)
(-2,+∞)
所以f(x)的单调减区间是(-a,-2).
综上,当a=2时,f(x)无单调减区间;
当a<2时,f(x)的单调减区间是(-2,-a);
当a>2时,f(x)的单调减区间是(-a,-2).
求函数的单调区间的2方法
法一:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
法二:
(2)求导数f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
1.(2018·
常州期中)已知函数f(x)=x2-ax-a2lnx.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=,
由f′(x)=0,可得x=a或x=-,
①当a=0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间.
②当a>0时,由f′(x)>0,解得x>a,函数f(x)单调递增;
由f′(x)<0,解得0<x<a,函数f(x)单调递减,
∴f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞).
③当a<0时,由f′(x)>0,解得x>-,函数f(x)单调递增;
由f′(x)<0,解得0<x<-,函数f(x)单调递减,
∴f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)f(x)≥0恒成立等价于f(x)min≥0,由
(1)知,
①当a=0时,f(x)=x2>0,符合题意;
②当a>0时,f(x)的单调递减区间是(0,a),
单调递增区间是(a,+∞),
∴f(x)min=f(a)=a2-a2-a2lna≥0,
解得0<a≤1;
③当a<0时,f(x)的单调递减区间是,
单调递增区间是,
∴f(x)min=f=+-a2ln>0,
解得-2e≤a<0.
综上,实数a的取值范围是[-2e,1].
2.(2019·
苏州十中检测)设函数f(x)=x2+ex-xex.
(2)若x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
(1)f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex).
若x<0,则1-ex>0,所以f′(x)<0;
若x>0,则1-ex<0,所以f′(x)<0;
若x=0,则f′(x)=0.
所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).
(2)因为x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,所以m<f(x)min;
由
(1)知f(x)在[-2,2]上单调递减,所以f(x)min=f
(2)=2-e2.
所以当m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立.
故实数m的取值范围为(-∞,2-e2).
(2019·
木渎高级中学模拟)已知函数f(x)=2xlnx-x2+ax(a∈R是常数).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间内单调递增,求a的取值范围.
(1)因为a=2时,f(x)=2xlnx-x2+2x,
f′(x)=2(lnx+1)-2x+2=2lnx-2x+4,
所以f′
(1)=2,f
(1)=1,
故切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)f′(x)=2lnx-2x+a+2,
若f(x)在区间内单调递增,则a+2≥2(x-lnx)在区间内恒成立,
设h(x)=x-lnx,x∈,则h′(x)=1-=,
由h′(x)>0,得1<x≤e;
由h′(x)<0,得≤x<1,
故h(x)在内单调递减,在(1,e]内单调递增,
而h=1+<h(e)=e-1,
故a+2≥2e-2,解得a≥2e-4,
所以a的取值范围是[2e-4,+∞).
由函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:
y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;
若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.
[提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-2,3)上单调递减?
若存在,求出a的取值范围;
若不存在,请说明理由.
f′(x)=ex-a.
(1)若a≤0,则f′(x)=ex-a>0恒成立,
即f(x)在R上单调递增;
若a>0,令ex-a≥0,解得x≥lna,
即f(x)在[lna,+∞)上单调递增,
因此当a≤0时,f(x)的单调递增区间为R;
当a>0时,f(x)的单调递增区间为[lna,+∞).
(2)存在实数a满足条件.
因为f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立,
所以a≥ex在(-2,3)上恒成立.
又因为-2<x<3,所以e-2<ex<e3,要使a≥ex在(-2,3)上恒成立,只需a≥e3.
故存在实数a∈[e3,+∞),使f(x)在(-2,3)上单调递减.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.函数f(x)=x-lnx的单调减区间为________.
函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,得0<x<1.
2.(2018·
启东中学检测)已知函数f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中e为自然对数的底数,则满足f(ex)<0的x的取值范围为________.
由f′(x)=1-=0(x>0),得x=e-1.
当x∈(0,e-1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(e-1,+∞)时,函数f(x)单调递增.
又f
(1)=f(e)=0,1<e-1<e,
所以由f(ex)<0得1<ex<e,解得0<x<1.
3.(2019·
盐城中学检测)若函数f(x)=x++lnx在区间[1,2]上单调递增,则实数k的取值范围是________.
∵函数