不等式和不等式组竞赛训练.docx

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不等式和不等式组竞赛训练

第九章不等式和不等式组竞赛训练

一元一次不等式（组）的竞赛题巧解举例

一元一次不等式（组）是初中数学竞赛试题中经常出现的重点容。

根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。

一、巧用不等式的性质

例1要使a5

A.0lC.-l

分析：

由a

两边都除以a,得a2>l,显然有a<-k故选D

点评：

本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定

a的取值围。

例2已知6<<10,二WbW2a,c=a+b,则c的取值围

2

是。

分析：

在士WbW2a的两边都加上"，可得—,再由6

10可得9<«+/?

<30,即9

点评：

本题应用不等式的基本性质，在=的两边都加上"后，直接

2

用关于。

的不等式表示c,再根据6VaV10求出c的取值围。

二、由不等式的解集确定不等式中系数的取值围

例3若关于x的不等式组

三〉兰+1①

54

x+/»<0②

的解集为x<4,则加的取值围是_o

分析：

由①得4x+24>5x+20,解之得x<40

由②得x<—mo

因为原不等式组的解集为x<4?

所以—/«>4,所以/«<-4o

点评：

本题直接解两个不等式得到x<4且x<-7«0若4<-7H,则其解集为x<4,若4〉一加，则其解集为xV—m,而原不等式的解集为x<4,所以-/h>4,即加57。

对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。

9

例4若不等式（2a—h）x+—4/?

<"0的解集是,则不等式

4

（a-4b）x+2a-3b>0的解集是

分析：

原不等式可化为（2a-b）x<4b-3a.

9

因为所以

4

2a-/?

<0

<4b-3g_9

2a-b4

由②得a=—b,代入①得b<0,

7

所以（a-4b）=弓_4”〉0。

3/?

2

由（a-4h）x>3b-2a得x>—~~—。

a_4b

把a=—b代入x〉_得x>——o

7a-4b4

点评：

本题先由不等式解集的不等号方向判断加-b<0,从数值上判断艺二竺=?

从而确定"与b的关系及b的符号。

2a一b4

不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值围。

三、利用不等式求代数式的最大值

例5设xl9x29x39-9x7均为自然数，且

Xj+x2+---+x1=159,则x,+x2+x3的最大值是

分析：

xpx2,x3,--,x7均为自然数，且x,

所以在為…这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大U

159=+欠2+…+x?

nX］+（k+1丿+（召+2丿+・・・+（比+6丿=7x}+21,

Xj<19-,所以X］的最大值为19。

7

当X］取最大值时，19+兀2+勺+…+曲=159,

140^x2+（x2+1）+（x2+2）+•…+（x2+5）=6.r+15、

X.<20-,所以兀2的最大值为20。

-6「

当“、心都取最大值时，

120=x3+x4+■■■+x-j>x3+（x3+D+（x3+2）+•••+（x3+4）=5x3+10,

所以x3<22,所以勺的最大值为22。

所以Xi+x2+x3的最大值是19+20+22=61。

点评：

本题根据已知条件先分别确定山、七、勺的最大值，再求出州+心+心的最大值。

其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于“、心、心的不等式。

例6在满足x+2y<3,x>0,y»0的条件下，2x+y能达到的最大值是。

分析：

将x+2y转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。

Tx+2y<3,x<3-2y,2x<6-4y。

/.2x+y<-3y+6。

Ty>0,/.-3y<0,-3y+6<6o

即2x+y<-3y+6<6

故2x+y能达到的最大值是6。

点评：

由字母的取值围可以确定含字母的代数式的取值围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。

试确定a、b、c的大小关系

7

2

76

b<—c<（

7

分析：

利用不等式的性质，原不等式组可化为

—c

6

5

f8

—a<

2

7.

—b<

2

a+b+c<-a

3

..15,

i+b+c<—b

4

所以茁>

36

17

即a>一c>c,

16

所以b

点评：

本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有a+b+c,利用不等式的传递性，得到心b、c的大小关系。

一元一次不等式（组）的解法及其应用题

:

班级：

考号：

成绩：

一、整数解

兀-320,

例1（2011,6,3分）不等式组｛兀的所有整数解之和是（）

-<3

12

A、9B、12C、13D、15

考点：

一元一次不等式组的整数解.

分析：

首先求出不等式的解集，再找岀符合条件的整数，求其和即可得到答案.解答：

由①得：

xM3,由②得：

x<6,

不等式的解集为：

3WxV6,.•・整数解是:

3,4,5,

所有整数解之和:

3+4+5=12.故选B.

点评：

此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则:

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

「3-x>0

练习1.（2011,18,3分）不等式组S4X3x的最小整数解为（）.

T2>飞

A.0B.1C.2D.-1

【答案】A

2.（2011-）求不等式组仁（一“（、的解集，并写出它的整数解.

2.v+1>3（x-l）

专題：

探究型。

分析：

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集X的整数解即

解答：

【解】解不等式3-y—6^a—4,得x^l.解不等式2x+1>3（x—1）,得xV4・所以原不等式组的解集为1W/V4.它的整数解为1,2,3.

61

4A

点评：

本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遽循的法则是解答此题的关键.

例2①（2011・州14.3分）若不等式x

—:

一元一次不等式的整数解。

分析：

首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的围.

解答：

解：

•••不等式x

.•.四个正整数解为：

1,2,3,4,

•••4VaW5.

故答案为：

4Va£5,

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解.

2已知关于x的不等式x-2a<3的最大整数解一5,求a的取值围.

7

解：

x<2a+3,由题意，有一5<2s+3W—4,—8V2aW—7♦4>^>—・

2

2（x一1）一3（%+2）>一6,①

3关于x的不等式组\x+a厂、恰好有两个整数解，求a的取值围.

2

解：

由①，得2x—2—3x—6>—6,—x>2.xV—2,

由②得x>2—a,

因为恰好有两个整数解一5W2—3<—4,所以一7W—a<—6,—7^a>6.

JV-1x+2

练习1.关于X的不等式组］—■—-5只有3个整数解，求a的取值围.

x—“>2,

2.不等式（组）的解集

例3已知不等式匚>1的每一个解都是Alv丄的解，求3的取值围；

322

解：

由—>1,得x

S—3W1,得aW4・

322

点评：

注意二者之区别.

练习1.若不等式斗-斗>1的解集与x<6的解集相同，求3的取值围.

32

解：

由~—-一^>1,得2x—2a—3x+3a>6,—x>6—a,xVa—6,

32

由題意，有a—6=6,所以a=12.

2.（2011日照，6,3分）若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x

A.lVaW7B.aW7C.aVl或a$7D.a=7

考点：

解一元一次不等式组；不等式的性质。

专题：

计算題。

分析：

求出不等式2xV4的解，求出不等式（a-l）xVa+5的x,得到当a-1>0时,

—^2,求出即可.

d-1

解答：

解：

解不等式2xV4得：

x<2,

•:

当3-1>0时，X〈1>

4一1

•••《2^2,•••lVaW7・故选儿

4一1

点评：

本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键.

三、求参数a的取值围

例3①关于x的方程组的解集是x>5,求m的取值围.

x>m

■

解：

由△二>2,得x>5,又因为方程组的解集是x>5,所以niW5・2

②关于x的不等式组］2・；3〉3（/-2）,有解，求皿的取值围.

x-1>m.

2.（2011年省威海市，11,3分）如果不等式组］2"—1>3（・\一1）的解集是x<2>那

x

么m的取值围是（）.

A、m=2B、m>2C、m<2D,m>2

考点：

解一元一次不等式组；不等式的解集.

专題：

计算题.

分析：

先解第一个不等式，再根据不等式组—1>3（“一1）的解集是x<2>从而得

x

出关于m的不等式，解不等式即可.

解答：

解：

解第一个不等式得，x<2,

•••不等式组］2%_1>的解集是x<2,

x

••心2,故选D・

点评：

本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数.求不等式的公共解，要遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

例4如果关于x的不等式组""一’有解，并且所有解都是不等式组一6VxW5的x<4—“，

解，求3的取值围.

y>ci2解：

•••不等式"一’有解，所以2a-2<4-a,a<2,

x<4-a,

所以其解集为：

2a-2

a、zi

所以"'解之得a^-1,所以不等式的解集为一lWa<2・

4一aS5,

例5（2011随州，7,3）若关于x,y的二元一次方程组"的解满足x+y

a+3v=3

*

<2.则3的取值围为0V4・

考点：

解一元一次不等式；解二元一次方程组。

专題：

方程思想。

分析：

先解关于关于X,y的二元一次方程组的解集，其解集由a表示；然后将其代入