届江苏高考数学文总复习讲义平面向量的数量积及其应用Word文档格式.docx

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已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.

结论

几何表示

坐标表示

模

|a|＝

夹角

cosθ＝

a⊥b的充要条件

a·

b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·

b|与|a||b|的关系

b|≤|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤

[小题体验]

1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·

b＝－6，则a与b的夹角θ为________．

答案：

2．已知向量a＝（－1,3），b＝（1，t），若（a－2b）⊥a，则|b|＝________.

解析：

因为a＝（－1,3），b＝（1，t），所以a－2b＝（－3,3－2t）．因为（a－2b）⊥a，所以（a－2b）·

a＝0，即（－1）×

（－3）＋3（3－2t）＝0，即t＝2，所以b＝（1,2），所以|b|＝＝.

3．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·

b2＝________.

由b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，得b1·

b2＝（e1－2e2）·

（3e1＋4e2）＝3e－2e1·

e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·

b2＝3－2×

－8＝－6.

－6

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·

b＝a·

c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．两个向量的夹角为锐角，则有a·

b＞0，反之不成立；

两个向量夹角为钝角，则有a·

b＜0，反之不成立．

3．a·

b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·

b＝0时，有可能a⊥b.

4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．

[小题纠偏]

1．给出下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a·

b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·

b＜0，则a和b的夹角为钝角；

③（a·

b）c＝a（b·

c）；

④若a·

b＝0，则a＝0或b＝0.

其中正确的说法有________个．

2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.

因为＝，＝，所以·

＝＋＝.所以cos∠ABC＝＝，又0°

≤∠ABC≤180°

，所以∠ABC＝30°

.

30°

3．已知平面向量a与b的夹角为，a＝（1，），|a－2b|＝2，则|b|＝________.

因为a＝（1，），所以|a|＝2，又|a－2b|＝2，即|a|2－4a·

b＋4|b|2＝12，故22－4×

2×

|b|×

cos＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.

2

[题组练透]

1．设a＝（1，－2），b＝（－3,4），c＝（3,2），则（a＋2b）·

c＝________.

因为a＋2b＝（1，－2）＋2（－3,4）＝（－5,6），

所以（a＋2b）·

c＝（－5,6）·

（3,2）＝－3.

－3

2．（2018·

南京高三年级学情调研）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°

，＝λ.若·

＝－，则实数λ＝________.

因为＝－，＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，·

＝2×

3×

cos120°

＝－3.所以·

＝（λ－1）2＋λ2＋（1－2λ）·

＝19λ－12＝－，所以λ＝.

3．已知向量a与b的夹角为60°

，且a＝（－2，－6），|b|＝，则a·

b＝________.

因为a＝（－2，－6），

所以|a|＝＝2，

又|b|＝，向量a与b的夹角为60°

，

所以a·

b＝|a|·

|b|·

cos60°

×

＝10.

10

4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°

，AC＝2，D为BC的中点，则·

＝________.

法一：

由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，所以·

＝·

（＋）＝·

＋·

＝||·

||cos45°

＋||·

＋2×

1×

＝6.

法二：

建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得A（0,2），B（－2,0），D（－1,0），所以＝（－2,0）－（0,2）＝（－2，－2），＝（－1,0）－（0,2）＝（－1，－2），所以·

＝－2×

（－1）＋（－2）×

（－2）＝6.

6

[谨记通法]

向量数量积的2种运算方法

方法

运用提示

适用题型

定义法

当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·

|b|cosθ

适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题

坐标法

当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·

b＝x1x2＋y1y2

适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题

[锁定考向]

平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．

常见的命题角度有：

（1）平面向量的模；

（2）平面向量的夹角；

（3）平面向量的垂直．　　　　

[题点全练]

角度一：

平面向量的模

1．（2018·

苏州高三暑假测试）已知平面向量a＝（2,1），a·

b＝10，若|a＋b|＝5，则|b|＝________.

因为a＝（2,1），所以|a|＝，又|a＋b|＝5，所以a2＋2a·

b＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5.

5

角度二：

平面向量的夹角

太湖高级中学检测）已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥（a－b），则向量a与向量b的夹角为________．

因为a⊥（a－b），

（a－b）＝a2－a·

b＝1－cosa，b＝0，

所以cosa，b＝，

所以a，b＝.

3．（2019·

启东中学检测）已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°

，则α的模的取值范围是________．

如图，在△ABC中，设＝β，＝α，

则＝－＝β－α.

因为α与β－α的夹角为120°

，所以A＝60°

由正弦定理得＝，则BA＝sinC．又0＜sinC≤1，

所以0＜BA≤，故α的模的取值范围是.

角度三：

平面向量的垂直

4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（6,1），＝（x，y），＝（－2，－3），且∥.

（1）求x与y之间的关系式；

（2）若⊥，求四边形ABCD的面积．

解：

（1）由题意得＝＋＋＝（x＋4，y－2），＝（x，y）．

因为∥，所以（x＋4）y－（y－2）x＝0，

即x＋2y＝0.

（2）由题意得＝＋＝（x＋6，y＋1），＝＋＝（x－2，y－3）．

因为⊥，所以（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0，

即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，

联立

解得或

当时，＝（8,0），＝（0，－4），

S四边形ABCD＝AC·

BD＝16；

当时，＝（0,4），＝（－8,0），

BD＝16.

所以四边形ABCD的面积为16.

[通法在握]

平面向量数量积求解问题的策略

（1）求两向量的夹角：

cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．

（2）求向量的模：

利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①a2＝a·

a＝|a|2或|a|＝.

②|a±

b|＝＝.

③若a＝（x，y），则|a|＝.

（3）两向量垂直的应用：

两非零向量垂直的充要条件是：

a⊥b⇔a·

b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

[演练冲关]

1．（2019·

海安模拟）已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.

由题意可得a·

|b|cos＝3，

所以|2a－3b|＝＝＝＝.

2．已知向量a，b满足a＝（4，－3），|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．

易知|b|＝1，|a|＝5，

对|a－b|＝两边平方，整理得2a·

b＝5，

即2|a||b|cosθ＝5，解得cosθ＝，

则向量a，b的夹角为.

3．已知向量与的夹角为120°

，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

＝－，由于⊥，

所以·

＝0，

即（λ＋）·

（－）

＝－λ2＋2＋（λ－1）·

＝－9λ＋4＋（λ－1）×

＝0，解得λ＝.

[典例引领]

（2018·

启东高三期中）已知向量a＝（sinx,2），b＝（cosx，1），函数f（x）＝a·

（1）若a∥b，求tan的值；

（2）求函数y＝f，x∈的最小值和最大值．

（1）由a∥b，得sinx＝2cosx．所以tanx＝2.

所以tan＝＝－3.

（2）因为f（x）＝a·

b＝sinx·

cosx＋2＝sin2x＋2，

所以y＝f＝sin＋2.

因为x∈，所以2x－∈，

从而－≤sin≤1.

于是，当2x－＝－，即x＝0时，函数y＝f有最小值，

当2x－＝，即x＝时，函数y＝f有最大值.

[由题悟法]

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

（1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．

[即时应用]

　已知向量m＝（cosx，－1），n＝（sinx，cos2x）．

（1）当x＝时，求m·

n的值；

（2）若x∈，且m·

n＝－，求cos2x的值．

（1）当x＝时，m＝，n＝，

所以m·

n＝－＝.

（2）m·

n＝cosxsinx－cos2x

＝sin2x－cos2x－＝sin－.

若m·

n＝－，则sin－＝－，

即sin＝.

因为x∈，所以－≤2x－≤，

所以cos＝，

则cos2x＝cos＝coscos－sinsin＝×

－×

＝.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

海门模拟）向量a＝（3,4）在向量b＝（1，－1）方向上的投影为________．

∵向量a＝（3,4），b＝（1，－1），

∴向量a在向量b方向上的投影为

|a|cosθ＝＝＝－.

－

江苏百校联盟联考）已知平面向量a，b的夹角为，且a·

（a－b）＝8，|a|＝2，则|b|＝________.

因为a·

（a－b）＝8，所以a·

a－a·

b＝8，

即|a|2－|a||b|cosa，b＝8，

所以4＋2|b|×

＝8，解得|b|＝4.

4

3．（2018·

苏州期末）已知a＝（m,2），b＝（1，n），m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a与b的夹角是________．

设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，

∵a＝（m,2），b＝（1，n），m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，

∴m2＋4＝16,1＋n2＝4，解得m＝2，n＝.