蒙特卡洛模型方法Word格式文档下载.docx

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在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。

1777年，法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏。

这被认为是蒙特卡罗方法的起源。

蒙特卡罗方法的根本思想

MonteCarlo方法的根本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率〞来决定事件的“概率〞。

19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。

本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

　　考虑平面上的一个边长为1的正方形及其部的一个形状不规那么的“图形〞，如何求出这个“图形〞的面积呢?

MonteCarlo方法是这样一种“随机化〞的方法：

向该正方形“随机地〞投掷N个点，有M个点落于“图形〞，那么该“图形〞的面积近似为M/N。

可用民意测验来作一个不严格的比喻。

民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进展小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。

其根本思想是一样的。

科技计算中的问题比这要复杂得多。

比方金融衍生产品〔期权、期货、掉期等〕的定价及交易风险估算，问题的维数〔即变量的个数〕可能高达数百甚至数千。

对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难〞〔CurseofDimensionality〕，传统的数值方法难以对付〔即使使用速度最快的计算机〕。

MonteCarlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。

以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。

为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减〞技巧。

　　另一类形式与MonteCarlo方法相似，但理论根底不同的方法—“拟蒙特卡罗方法〞〔Quasi－MonteCarlo方法〕—近年来也获得迅速开展。

我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王〞方法即是其中的一例。

这种方法的根本思想是“用确定性的超均匀分布序列〔数学上称为LowDiscrepancySequences〕代替MonteCarlo方法中的随机数序列。

对某些问题该方法的实际速度一般可比MonteCarlo方法提出高数百倍，并可计算准确度。

蒙特卡罗方法的根本原理

由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。

因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进展大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定构造是否失效，最后从中求得构造的失效概率。

蒙特卡罗是基于此思路进展分析的。

　　设有统计独立的随机变量Xi〔i＝1，2，3，…，k〕，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g〔x1，x2，…，xk〕。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi＝g〔x1，x2，…，xk〕〔i＝1，2，…，N〕，假设其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，那么当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：

构造失效概率，可靠指标。

　　从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了构造可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比拟准确的失效概率和可靠度指标。

特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为准确，并且由于思路简单易于编制程序。

蒙特卡罗方法在数学中的应用

通常蒙特·

卡罗方法通过构造符合一定规那么的随机数来解决数学上的各种问题。

对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·

卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。

一般蒙特·

卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·

卡罗积分。

蒙特卡罗方法的应用领域

蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学〔如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算〕等领域应用广泛。

蒙特卡罗方法的工作过程

在解决实际问题的时候应用蒙特·

卡罗方法主要有两局部工作：

1．用蒙特·

卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。

2．用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤

使用蒙特·

卡罗方法进展分子模拟计算是按照以下步骤进展的：

1．使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。

2．对此分子构型的其中粒子坐标做无规那么的改变，产生一个新的分子构型。

3．计算新的分子构型的能量。

4．比拟新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否承受该构型。

·

假设新的分子构型能量低于原分子构型的能量，那么承受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。

假设新的分子构型能量高于原分子构型的能量，那么計算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。

*假设这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，那么放弃这个构型，重新计算。

*假设这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，那么承受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。

5．如此进展迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型完毕。

蒙特卡罗模型的开展运用

从理论上来说，蒙特卡罗方法需要大量的实验。

实验次数越多，所得到的结果才越准确。

以上Buffon的投针实验为例、历史上的记录如下表1。

　　从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。

这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。

计算机技术的开展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。

现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。

它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被工程管理人员经常使用。

　　借助计算机技术，蒙特卡罗方法实现了两大优点：

　　一是简单，省却了繁复的数学报导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；

　　二是快速。

简单和快速，是蒙特卡罗方法在现代工程管理中获得应用的技术根底。

　　蒙特卡罗方法有很强的适应性，问题的几何形状的复杂性对它的影响不大。

该方法的收敛性是指概率意义下的收敛，因此问题维数的增加不会影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该方法处理大型复杂问题时的优势。

因此，随着电子计算机的开展和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛。

它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学，可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到成功的应用。

工程管理中蒙特卡罗模拟方法的一般步骤

工程管理中蒙特卡罗模拟方法的一般步骤是：

1、对每一项活动，输入最小、最大和最可能估计数据，并为其选择一种适宜的先验分布模型；

2、计算机根据上述输入，利用给定的某种规那么，快速实施充分大量的随机抽样；

3、对随机抽样的数据进展必要的数学计算，求出结果；

4、对求出的结果进展统计学处理，求出最小值、最大值以及数学期望值和单位标准偏差；

5、根据求出的统计学处理数据，让计算机自动生成概率分布曲线和累积概率曲线〔通常是基于正态分布的概率累积S曲线〕；

6、依据累积概率曲线进展工程风险分析。

非权重蒙特卡罗积分

非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进展随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。

此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。

当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差恒为1除于根号M，不随积分维数的改变而改变。

因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

蒙特卡罗方法案例分析

　　案例一：

蒙特卡罗模型在投资工程决策中的开发应用[1]

　　一、问题的提出

　　随着社会主义市场经济体制的逐步完善、经济水平的逐步提高，我国社会经济活动日趋复杂，越来越多变，其影响越来越广泛，越来越深远，不确定性逐渐成为企业决策时所面临的主要难题。

因此，如何在不确定条件下做出投资决策，就成为目前理论和实践工作者们广泛关注的一个核心课题。

传统的投资评价理论——以净现值法〔NPV〕为代表的投资决策分析方法，其根本缺陷在于它们是事先对未来的现金流量做出估计，并假设其为不变或静态的状况，无法衡量不确定因素的影响，不能表达递延决策以应对所带来的管理弹性。

所以，在不确定环境下的投资，用净现值法评估工程不能表达柔性投资安排决策所表达的价值，无助于工程在决策中回避风险。

在多变的市场环境中，不确定性与竞争者的反响使实际收入与预期收入有所出入，所以净现值法〔NPV〕适用于常规工程，未来不确定性比拟小的工程。

　　为此理论界对未来投资环境不确定性大的工程提出了实物期权法，但在实践中应用的还是比拟少。

实物期权法的应用对企业决策者的综合素质要求比拟高，对企业资源能力要求也比拟高。

但是实物期权法改变了我国管理者对战略投资的思维方式。

　　基于以上的分析，我们得出这样的结论：

传统的投资决策方法对风险工程和不确定性工程的评价有较多不完善之处，有必要对其改良；

实物期权法理论上解决了传统决策方法对不确定性工程评价的缺乏，但其应用尚处于体系不成熟阶段，在实践中应用并不广泛。

至此，引入蒙特卡罗模型的理论和其分析方法，此方法特别适用于参数波动性大，且服从某一概率分布的工程，例如地质勘察、气田开发等工程。

　　蒙特卡罗模型是利用计算机进展数值计算的一类特殊风格的方法，它是把某一现实或抽象系统的某种特征或局部状态，用模拟模型的系统来代替或模仿，使所求问题的解正好是模拟模型的参数或特征量，再通过统计实验，求出模型参数或特征量的估计值，得出所求问题的近似解。

目前评价不确定和风险工程多用敏感性分析和概率分析，但计算上较为复杂，尤其各因素变化可能出现概率确实定比拟困难。

蒙特卡罗模型解决了这方面的问题，各种因素出现的概率全部由软件自动给出，通过屡次模拟，得出工程是否应该投资。

该方法应用面广，适应性强。

惠斯通〔Weston〕对美国1000家大公司所作的统计说明：

在公司管理决策中，采用随机模拟方法的频率占29%以上，远大于其他数学方法的使用频率。

特别，该方法算法简单，但计算量大，在模拟实际问题时，要求所建模型必须反复验证，这就离不开计算机技术的帮助，自然可利用任何一门高级语言来实现这种方法。

通过一案例具体实现了基于Excel的MonteCarlo模拟系统，由于MicrosoftExcel电子表格软件强大的数据分析功能和友好的界面设计能力，使系统实现起来颇感轻松自如。

二、理论和方法