高考数学讲义抛物线之切线与定点问题Word文档下载推荐.docx
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抛物线的定义及其标准方程
抛物线的简单几何意义
双曲线的定义及标准方程
双曲线的简单几何性质
直线与圆锥曲线的位置关系
北京三年高考两年模拟统计
中点弦
垂直角度
弦长面积范围
定点定值
共线比例
其它
高考试题
4
1
模拟试题
7
8
11
14
共计
15
5
自检自查必考点
抛物线分为上下两支，可以分别看成函数求导
对于求导得，则
抛物线在的切线的斜率为
故切线为
化简得到
同理切线为
抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）
性质1：
过抛物线一弦的中点平行于对称轴的直线与抛物
线交于点，若过的切线为，则
性质2：
过抛物线上一点的切线交其对称轴于点，则
性质3：
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上
性质4：
过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直
性质5：
过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
性质6：
切线交点与弦中点连线平行于对称轴
性质7：
过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分
性质8：
过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径
性质9：
从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上
性质10：
过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必
平行于此抛物线的对称轴
性质11：
抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上
例题精讲
【例1】证明：
过抛物线上一点的切线方程是：
【例2】设抛物线的焦点弦在其准线上的射影是，证明：
以为直径的圆必过一定点
【例3】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点．
⑴如果直线过抛物线的焦点，求的值；
⑵如果证明直线必过一定点，并求出该定点．
【例4】如图,过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
（II）当与的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线的斜率是非零常数.
【例5】如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点均在抛物线上.
（I）写出该抛物线的方程及其准线方程;
（II）当的斜率存在且倾斜角互补时,求的值及直线的斜率.
【例6】如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若为线段的中点，求证：
为此抛物线的切线；
（Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？
说明理由。
【例7】已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：
抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；
若不存在，说明理由．
【例8】已知点到定点（）与它到定直线的距离相等
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点的直线与的轨迹交于、两点，设，当直线与的斜率都存在时，求证直线、的斜率之和为．
【例9】已知平面上两个定点、，为一个动点，且满足．
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵若、是轨迹上的两个不同动点．分别以、为切点作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．
（1）
（2）
【例10】已知抛物线及定点，是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．
求证：
当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过
一定点，并求出定点的坐标。
【例11】在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，．
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦，设的中点分别为．求证：
直线必过定点．
【例12】过抛物线焦点的一条直线与它交于两点，通过点和抛物线顶点的直线交准线于点，如何证明直线平行于抛物线的对称轴?
【例13】如图，曲线的方程为以原点为圆心，以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点直线与轴相交于点.
（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标的关系式；
（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，求证：
x
y
B
A
O
a
Ｃ
D
直线的斜率为定值.
【例14】如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，
（1）若，求的值；
（2）若为线段的中点，求证：
（3）试问
（2）的逆命题是否成立？
【例15】如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
⑴求证：
，，三点的横坐标成等差数列；
⑵已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
⑶是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；
若不存在，请说明理由．
【例16】已知点P与定点F的距离和它到定直线l:
的距离之比是1:
2.
（1）求点P的轨迹C方程;
（2）过点F的直线交曲线C于A,B两点,A,B在l上的射影分别为M,N.
求证AN与BM的公共点在x轴上.
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