数学百大经典例题不等式性质新课标文档格式.docx

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第一步：

作差；

第二步：

变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：

定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．

典型例题三

例3，比较与（）的大小．

分析：

直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．

∵=（）

∴

．

则有时，（）恒成立．

有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．

典型例题四

例4设，比较与的大小．

作差，

1）当时，即，

∴；

2）当，即时，，

3）当但，即或时，，

如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．

典型例题五

例5比较与的大小

两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。

求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．

典型例题六

例6　设，且，比较：

与的大小。

比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。

当时，，

即，

又，

求商法的基本步骤是：

①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.

典型例题七

例7实数满足条件：

③，则有（）

A．　　　　B．

C．　　　　D．

（天津市2001年南开中学期末试题）

先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．

∵，∴与同侧

∵，∴与异侧

∵

∴把标在数轴上，只有下面一种情况

由此得出，∴此题选D．

比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．

典型例题八

例8　已知①；

②，求：

的取值范围．

此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：

（1）利用待定系数法将代数式用和表示．

（2）利用不等式性质及题目条件确定的范围．

设：

由①+②×

2得：

：

此题的一种典型错误做法，如下：

，即：

此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．

避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．

典型例题九

例9　判断下列各命题的真假，并说明理由．

（1）若，则

（2）若，则

（3）若，则

（4）若，则

（5）若，则

（6）若，则

利用不等式的性质来判断命题的真假．

（1），是真命题．

（2）可用赋值法：

，有，是假命题．

也可这样说明：

∵　，只能确定，

但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：

（3）与

（2）类似，由，从而是假命题．

（4）取特殊值：

有，∴　是假命题．

定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即

（5），　∴是真命题．

（6）定理4成立的条件为必须是正数．

举反例：

，则有

在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．

典型例题十

例10　求证：

把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．

证明：

利用不等式的性质，得

典型例题十一

例11　若，则下面不等式中成立的一个是（　　　）

（A）　　　　　（B）

（C）　　　　　　　　（D）

由不等式的性质知：

（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）　正是异向不等式相减的结果．

本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．

典型例题十二

例12　若，则下面各式中恒成立的是（　　　）．

（A）　　　　（B）

（C）　　　　　（D）

分析　本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，，继而得到且，故，因此选A．

典型例题十三

例13若，则一定成立的不等式是（　　）

A．B．C．D．

A错，当时有；

同样B错；

D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．

故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立．

这类题可以采用特例法：

令即得C成立．

典型例题十四

例14　已知：

，求证：

要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．

又∴由同向加性可得：

此题还可采用异向减性来处理：

做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．

典型例题十五

例15已知集合求：

要求，需要先求集合和，从已知来看，的范围容易求，的元素由可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．

本题中的条件，意在明确集合中的元素为，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，的实数和的整数显然是有区别的．另外，这里集合的元素是通过集合的元素求出的，解题时，一定要看清．

典型例题十六

例16设和都是非零实数，求不等式和同时成立的充要条件．

本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则成立的条件就是本身；

而成立的条件则是与同号，且，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．

先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件．

由，得

由可知，再由知，即与异号，因此是不等式与同时成立的必要条件．

再求，同时成立的充分条件．

事实上，当时，必有，且，因而成立．从而是不等式，同时成立的充分条件．

因此，两个不等式，同时成立的充要条件是．

本题结果表明，与同时成立，其充要条件是为正数，为负数．这与成立的条件，不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若，同时成立，则要研究从不等式和看与的大小有什么关系，从中得出结论（），再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立．从而解决了本题．

典型例题十七

例17　已知函数满足：

则应满足（　　）

如果能用与将“线性”表示出：

，就可利用不等式的基本性质，由、的取值范围，推出满足的条件．

∴

故

由不等式的基本性质，得

故选（C）.

（1）也可设，由代定系数法求得，．

（2）下面的错误是值得引以为戒的∵

又　

∴　

故选（A）

上述推理错误产生的原因是由于将条件

化为使、的取值范围扩大所致．事实上，作为点集

与之间的关系是，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，揭示了上述解法的错误．