数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案Word格式文档下载.docx
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/（0）+AJ（h）成立。
令/（X）=X4T则
f；
/（g=［；
也=|/F
2
久J（-/?
）+AJ（O）+A/3）=-^
故此时，
/Cgx工A_J（-h）+4/（0）+AJXh）故J：
&
£
/（—/?
）+4/（°
）+A/（/?
）
具有3次代数精度。
⑵若］：
/a炖QA-J（.~h）+4/（°
令f（x）=1,则4/?
=A】+人+4令/（x）=x,则0=-A_{h+AJh
—h3=h2A.+h2A
3t〜
\=~h
<
a=-h
13
A,=-h
令/W=V3,则
f：
/（忙=匸：
也=0
Ai/（-力）+A）/（°
）+A/（A）=o
4』（_/0+人/（0）+A/（/?
）成立。
令f（X）=X”'
则
n：
*软
4/（—/0+人/（0）+仃（/0=¥
，故此时，
r2lt
L/（xXv丰A_JX-h）+4/（0）+A/（/?
）因此，
匚fWxaAJ（-/i）+4/（0）+AJ（h）具有3次代数精度。
⑶若-[/（-l）+2/3）+3/（x2）]/3
J_』（x皿=2=[/（-1）+2/（和+3/（xJ]/3令/（x）=x,则0=-1+2不+3^2
2=1+2兀+3疋
|\=—0.2899、抚=0.6899
或<
比=05266乙=0.1266
令/（X）=X3,则
£
i/（A-Xr=£
/Vr=0
[/（-1）+2/（xJ+3/（xJ]/3hO
故=[/（-l）+2/（和+3/（兀）]/3不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
⑷若£
j\x）clx«
/?
[/（0）+/（/!
）]/2+ah2[f\0）-f\h）]
令f（x）=1,则
W）+f（h）]/2+ah2[f（Q）-/'
（/?
）]=h
xdx=—If
oo2
/〃（0）+/（/?
）]/2+ah2[ff（0）-f\h）]=jh2
令f（x）=x2,则
^f（x）dx=J：
x2dx=i/?
3
h[f（O）+/⑷]/2+ah2[ff（0）-f\h）]=抨一2ah2故有
32
1
a=—
12
令/（x）=X3,则
”（忻=门也=扣
町（0）+/（/?
）]/2+加，[广（0）-广（/?
）]=”*=新
12244
令/W=-V4,则
/（xMx=J；
ddx=£
/F
A[/（0）+/（/?
）]/2+岂/r[f（0）-fXh）]=i/i5-h5=b5
12z3o
7（aXv丰加/（0）+/（/?
）]/2+^-lf[fXO）-广（/?
）],
因此，g如町（0）+伽］/2+訥广（0）—广⑹］
2•分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
复化梯形公式为
7；
=£
[/⑷+2^/（x,）+f（b）]=0.11140
复化辛普森公式为
h77
2=-[f（a）+4工/（兀）+2工蚀）+f（b）]=0.11157
bA=O七A=1
1（1一厂卩
（2）/7=10卫=0、b=lji=—,/（x）=
10x
h9
心=-[/（«
）+2工他）+f（b）]=1.39148
几=£
[/⑷+4£
/（X+1）4-2£
/（x,）4-/（/;
）]=1.45471
（3）/?
=4,°
=1,b=9,力=2,/（x）=y/x,
h3
r4=抽@）+2工伽）+/（b）]=17.22774
Lr=i
1133
二=-[/（«
）+4^/（xJ+2工/g）+/（b）]=17.32222bA=02A=1
（4）7?
=6,a=O、b=?
h=—,f（x）=^4-sm2（p
636
人=金/⑺++/（b）］=1.03562
h55
s6=-［f⑷+4工/（兀）+2工/（忑）+/@）］=1.03577bk=ok=i
3。
直接验证柯特斯教材公式（2。
4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为
f/（Qk=苛割7/（兀）+32/（xJ+12/（兀）+32/（禺）+7/（兀）］
令/U）=1,则
罟[7/（x°
）+32/（®
+12/（®
+32/（xJ+7f（x4）]=b-a
令f（x）=X9则
罟[7几兀）+32/UJ+12/（x2）+32/Vj+7/（兀）]=扌疔-巧
令f（x）=X’'
罟[7/（兀）+32/（®
+32/（兀）+7/（x4）]=扌（戾-巧
晋叽）+32心叭）+叽）+7/（g（L）£
fa）dx=J〉“dx=^（b5-a5）
+12/（耳）+32/（兀）+7/（兀）]吕（夕-巧
令/（x）=f,则
f（x）dx=fx5dx=^（b6-a6）
+12/g）+32/（兀）+7/（x4）]=护-a6）
f（x）=x6,则
j*：
工[7/（x0）+32/（兀）+12/（xJ+32/（x3）+7/（xJ]
因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。
用辛普森公式求积分^e~xdx并估计误差。
解:
辛普森公式为
-[fW+4/（^^）+/（/?
）]oz
此时,
d=0j=l,/（x）=Q,
从而有
i
S=l（l+4e2+「）=0.63233
误差为
X—X
18024
=0.000357/^（0,1）
5o推导卞列三种矩形求积公式:
『fWx=（b—a）f（字）+导（—）3;
儿224
⑴•••/W=/@）+广（〃）（x-d）,〃ew，b）
两边同时在[d“]上积分，得
fWx=（b-G）/⑷+广（“）[（X-Cl）dx即
（2）・••/W=f（b）-f（7j）（b-x\rjg（a.b）
两边同时在［⑦切上积分，得
f»
b「b
f（x）dx=（b-a）/⑷-/'
（〃）[（b-x）clx即
f'
fWx=（b-a）f（b）-単（b一0），
Ja2
r/、,+b、gd+b、,a+b、f\n）/a+b.z八
（3）t/W=/（—）+/（—）（x--）+—y%-一广,〃e（a,b）
两连边同时在［a、b］上积分，得
卩“、」z/、“ci+b、“ci+b、fba+b、」厂（“）巴a+b.」
J/（^=0-a）f（——）+f（——）J（x-——）dx+^^\{x-—-ydx
Ja22儿22Ja2
即
fg={b~对（罟）+锣g）3；
6o若用复化梯形公式计算积分/=J：
Kdx，问区间［0,1］应人多少等分才能使截断误差不超ajxio-5?
若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间［o,i］应分多少等分？
解：
采用复化梯形公式时，余项为
心（/）=一^■/&
"
（〃）,〃ww,b）
故/（x）=ex,f\x）=e\a=O,b=l.
|^n（/）|=迈/厂|广（〃）|<
迈/厂^|/?
„（ni<
|xio-5,则
h2<
-xl0-5
当对区间［0,1］进行等分时，
因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为
又・.・m）十
1p
••也⑴一丽计％來丽“
若此（/）|弓X10U则化竺XE
e
当对区间［0,1］进行等分时
n=h
故有
14401
>
（——x105）4=3.71
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。
如果f\x）>
o,证明用梯形公式计算枳分/=£
/uXv所得结果比准确值/人，并说明其几何意义。
采用梯形公式计算积分时，余项为
Rt=-（b-a）\f]e[a,b]
又•••f\x）>
0且b>
a
又=1-7
:
.I<
T
即计算值比准确值大。
其几何意义为，f\x）>
0为卞凸函数，梯形面枳人于曲边梯形面积。
8。
用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10一[
+x2dx.
（l）/=4「Qdx
k
罗）
0.7717433
0.7280699
0.7135121
0.7169828
0.7132870
0.7132720
0.7142002
0.7132726
0.7132717
因此/=0.713727
（2）1=["
xsin.皿
3.451313x1（）-°
8.628283X10'
7
-4.446923X10'
21
因此/«
（3）/=£
x>
Jl+x2dx
矿
14.2302495
11.1713699
10.1517434
10.4437969
10.2012725
10.2045744
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691
4
10.2222702
10
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