圆和圆的基本性质Word文件下载.docx

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【典型例题】

例1⑴下列语句中正确的有（）

相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；

③长度相等的两条弧是等弧；

④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；

A.1个B.2个C.3个D.4个

⑵如图1，AB为⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E点，BF⊥CD于F点，BF交⊙O于G点，下面的结论：

①EC=DF；

②AE+BF=AB；

③AE=GF；

④FG·

FB=EC·

ED，其中正确的结论是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm，拱高CD=8cm，则桥拱的半径是__________。

⑵已知：

如图3，⊙O的半径为5，AB所对的圆心角为120°

，则弦AB的长是（）

A.B.C.5D.8

例3已知：

⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，

求∠BAC的度数。

例4已知：

F是以O为圆心、BC为直径的半圆上的一点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：

AD=BF.

【基础练习】

1、如图5，乒乓球的最大截口⊙O的直径AB⊥弦CD，P为垂足，若CD=32mm，AP：

PB=1：

4，则AB=________.

2、平面上一点P到⊙O上一点的距离最长6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为_______cm.

3、已知：

如图6，Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=，BC=1.

若以C为圆心，CB长为半径的圆交AB于P，则AP=________.

4、已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是___________cm.

5、如图7，已知AB是⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm，则OD=________cm.

6、如图8，在⊙O中，弦AB=CD，图中的线段、角、弦分别具有相等关系的

量有（不包括AB=CD）（）

A.6组B.5组C.4组D.3组

7、圆的直径是26cm，圆中一条弦的长是24cm，则这条弦的弦心距是（）

A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm

8、如图9，在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足是C，则下列结论中错误的是（）

A.AC=CBB.AN=BNC.AM=BMD.OC=CN

9、如图10，已知：

在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.

求证：

△OCD为等腰三角形.

【能力创新】

10、等腰△ABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm，则S△ABC为（）

A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm

11、已知：

如图11，在⊙O中CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求证：

CB2=CF·

CE.

12、如图12，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于C点，弦CD交AM于点E.⑴如果CD⊥AB，求证EN=NM；

⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：

CE2=EF·

ED；

⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由。

第二节直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。

圆的切线的判定有⑴…⑵…

4．切线长定理

1、直线和圆的位置关系及其数量特征：

直线和圆的位置

相交

相切

相离

D与r的关系

d<

r

d=r

d>

公共点个数

2

1

公共点名称

交点

切点

无

直线名称

割线

切线

2、有关定理和概念

切线的判定定理：

判定方法：

①②③

切线的性质定理及推论：

切线长定理：

三角形的内切圆和内心：

例1、如图80303，已知AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，CD切⊙O于D,DE⊥AB于E,求证：

∠EDB=∠CDB。

例2、如图80304，已知AB是⊙O的一条直径，过A作圆的切线AC,连结OC交⊙O于D;

连结BD并延长交AC于E,AC=AB

①求证：

CD是ΔADE外接圆的切线。

②若CD的延长线交⊙O于F,求证：

=

③若⊙O的直径AB=2,求tg∠CDE的值。

④若AC≠AB结论①还成立吗？

【基础训练】

1、若⊙O的半径为3cm，点P与圆心O的距离为6cm，则过点P和⊙O相切的两条切线的夹角为度。

2、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离为。

3、已知PA与⊙O相切于A点，PA=,∠APO=45°

则PO的长为。

4、已知ΔABC中，∠A=70°

点O是内心，则∠BOC的度数为。

5、已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E且DE=2cm,则点D到OB的距离为。

6、如图80301，AE、AD和BC分别切⊙O于E、D、F,如果AD=20,则ΔABC的周长为。

7、如图80302，梯形ABCD中，AD∥BC,过A、B、D三点的⊙O交BC于E，且圆心O在BC上，①四边形ABED是什麽四边形？

请证明你的结论。

②若∠B=60°

AB：

AD：

BC=1：

1：

3则有哪些结论？

至少写出两个并加以证明。

【发展探究】

1、如图80305，设PMN是⊙O通过圆心的一条割线，①若PT切⊙O于点T,求证：

②若将PT绕点P逆时针旋转使其与⊙O相交于A、B两点，试探求与间的关系。

2、如果上题中的割线PMN不通过圆心，上述结论是否仍然成立？

【优化评价】

1、⊙O的半径是8,⊙O的一条弦AB长为8,以4为半径的同心圆与AB的位置关系是。

2、在RtΔABC中,∠C=90°

AC=3,BC=4,若以C为圆心，R为半径新作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是。

3、在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°

以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3,BC=4,则⊙O的直径为。

4、RtΔABC中，∠A=90°

⊙O分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上，若AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于（）。

A、B、C、D、

5、如图80306，ΔABC是⊙O的内接三角形，DE切圆于F点，且DE∥BC,那么图中与∠BFD相等的角的个数是（）。

A、5B、3C、4D、2

6、如图80307，AB⊥BC,且AB=BC,以AB为直径作半圆O交AC于D,则图中阴影部分的面积是ΔABC面积的（）。

A、1倍B、倍C、倍D、倍

7、如图80308，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB,P是OA上的任一点，BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上，且RP=RQ。

RQ是⊙O的切线。

②求证：

OB2=PB·

PQ+OP2。

③当RA≤OA时，试确定∠B的范围。

8、如图80309，点A在⊙O外，射线AO与⊙O交于F,G两点，点H在⊙O上，弧FH=弧GH,点D是弧FH上一个动点（不运动至F），BD是⊙O的直径，连结AB,交⊙O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA=,OF=1,设AC=x,AB=y。

①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

②若DE=2CE,求证：

AD是⊙O的切线。

③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时，

求sin∠DAB的值。

第三节与圆有关的角

与圆有关的角：

⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。

例1、⑴已知：

A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点，则∠HDF=_______.

⑵如图1，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与∠BOC的一半相等的角共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

例2、⑴下列命题正确的是（）

A.相等的角是对顶角；

B.相等的圆周角所对的弧相等；

C.等弧所对的圆周角相等角；

D.过任意三点可能确定一个圆。

⑵如图2，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，

若∠CAP=40°

，∠ACP=100°

，则∠BAC所对的弧的度数为（）

A.40°

B.100°

C.120°

D.30°

⑶如图3，AB、AC是⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，若∠ADB=35°

，则∠BOC=____.

例3、⑴如图4，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B点，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°

，则∠DBE=_________.

⑵如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB=_____度。

例4、已知，如图6，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB＝，点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。

⑴求证：

AC2=AG·

AF；

⑵若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否任然成立？

若成立，请画出图形并给予证明；

1、填空题：

⑴如图7，OA、OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线，

且∠AOB=84°

，则∠ABC的度数为___________.

⑵如图8，C是⊙O上的一点，AB为100°

，则∠AOB=_____度，

∠ACB=_______度。

⑶圆内结四边形ABCD中，如果∠A:

∠B:

∠C=2：

3：

4，那么∠D=_____度。

⑷如图9，△ABC中，∠C=90°

，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则∠EDF=_____。

2、选择题：

⑴如图10，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°

，∠AOC等于（）

A.20°

B.40°

C.80°

D.100°

⑵△ABC内接于⊙O，∠A=30°

，若BC=4cm，则⊙O的直径为（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

⑶如图11，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，则tan∠BPD等于（）

A.B.C.D.

⑷如图12，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB=29°

，则∠ADC=（）

A.109°

B.119°

D.129°

3、如图13，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AB、BD相交于点E。

⑴求证：

△ABD≌△ACD；

⑵若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长。

5、如图14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P。

⑴已知：

CD=8cm，

∠B=30°

，求⊙O的半径；

⑵如果弦AE交CD于F，求证：

AC2=AF·

AE.

.