计算方法例题分析Word格式.docx

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　　2．0004　　－0．00200　　9000　　9000．00

因为x1=2．0004＝0．20004×

101，它的绝对误差限0．00005=0．5×

101-5，即m=1，n=5，故x=2．0004有5位有效数字。

a1=2，相对误差限；

　　x2=－0．00200，绝对误差限0．000005，因为m=－2，n=3，x2=－0．00200有3位有效数字。

a1=2，相对误差限

　　x3=9000，绝对误差限为0．5×

100，因为m=4,n=4，x3=9000有4位有效数字，a=9，相对误差限

　　x4=9000．00，绝对误差限0．005，因为m=4，n=6，x4=9000．00有6位有效数字，相对误差限为

　　由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。

例3　ln2=0．69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

精确到10-3＝0．001，意旨两个近似值x1，x2满足│x1-x2│≤0．001，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足│x1-x2│≤0．001，近似值的绝对误差限应是ε＝0．0005，故至少要保留小数点后三位才可以。

故In2≈0．693。

例4　试利用f（x）的数据表

　　计算积分，并估计计算误差．

　　分析　在f（x）的表达式不知道的情况下，如何去求f（x）的积分值呢?

若利用本章的知识，即可利用已知的f（x）的数据表构造f（x）的二次插值多项式p2（x），以作为f（x）的近似函数，并进而以p2（x）的积分值作为所求积分值的近似。

至于误差的计算，也可由误差f（x）-p2（x）出发进行估计。

根据拉格朗日插值公式，利用给定的数据表，可构造出f（x）的二次插值多项式

插值余项为

．

由此得积分近似值

积分值的误差为

　　其中

例5　给定f（x）在节点a，b上的函数值与导数值f（a），f（b），f′（a）。

试求一个二次多值式H2（x），使之满足插值条件

H2（x）=f（a），H2（x）=f（b），

（1）

　　分析构造插值多项式的基本方法是基函数法，即对每一个插值条件建立一个与之相应的插值基函数。

基函数的形式要与所求的插值函数相一致。

然后用给定的插值数据与基函数作线性组合，就可得到所求的插值函数。

法一与

（1）中三个插值条件相应，依次建立三个插值基函数，是二次多项式且满足标准的基函数插值条件

利用待定系数法容易求得

则所求的二次插值多项式为

　　法二　可先根据给定条件H2（x）=f（a），H2（b）=f（b）作出牛顿插值（或拉格朗日插值）多项式，然后再加带有待定系数的一项，所加项自然应保证在a，b处取值为零，故而可取k（x-a）·

（x-b），再由条件确定待定系数k。

　　设H2（x）=f（a）+f[a，b]（x-a）+k（x-a）（x-b）。

于是

所以

注　由于二次多项式由H2（a），f（b），f′（a）三个条件所唯一确定，所以本题由各种方法所求得的解，实质上是相同的。

例题分析二

例6　已知函数y=f（x）的观察数据为

　　试构造f（x）的拉格朗日多项式Pn（x），并计算f（－1）。

先构造基函数

所求三次多项式为：

例7　已知函数y=f（x）的数据如表中第2，3列。

计算它的各阶均差。

依据均差计算公式，结果列表中。

计算公式为：

一阶均差

二阶均差

………

例8　设x0，x1，x2，…，xn是n+1个互异的插值节点，lk（x）（k=0，1，2，…，n）是拉格朗日插值基函数，证明：

　　证明

当f（x）=1时，

由于，故有.

例9　已知数据表如下：

用最小二乘法求拟合这组数据的曲线。

　　分析　首先根据已知数据，在坐标平面上画出相应的点，然后再画出曲线的粗略图形。

如图3．1。

　　由图形确定拟合函数的类型。

在具体问题中也可结合考虑问题的物理意义和经验。

　　最后由最4'

－乘法建立法方程组，求出待定的参数，即可得拟合曲线的方程。

并可比较拟合值、实验值算出各点的误差

图3．1

根据图3．1，取幂函数y=axb作拟合函数，其中a，b为待定参数。

根据曲线拟合的思想，令

由（a，b）求出a，b．由极值的必要条件得方程组

　　这是关于a、b的非线性方程组，求解很困难。

　　于是，将问题转化为线性问题求解。

为此，将y=axb两边取对数有

lgy=lga+blgx.

　　令ω=lgy，z=lgx，c=lga。

上式化为

ω=c+bz

　　由（xi，yi）可得到相应的（zi，ωi），于是得如下数据表：

　　这样，待定系数c，b即为内容提要中所述的和的线性组合系数。

建立c，b所满足的法方程组

其中

　　由方程组

（1）解得C=0．1624，b=2．0150。

从而a=10c=1．4534，Y=1．4534，x2.0150。

比较拟合值、实验值并算出各点的误差如下表

　　注：

通常针对一组数据的图形，可以选择不同的拟合函数类进行求解，最后按误差大小决定取舍。

例题分析三

例10　满足条件p（0）=p′（0）=0，p

（1）=1，p

（2）=2的插值多项式p（x）=________________

设所求的为p（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3

　　由插值条件知

　　解之得

　　a2=3/2　　a3=－1/2

　　所求的插值多项式为p（x）=－1/2x3+3/2x2

例11　选择填空题

　　1.通过四个互异节点的插值多项式P（x），只要满足（　），则P（x）是不超过一次的多项式。

　　（A）初始值y0=0　　（B）一阶均差为0　　（C）二阶均差为0　　（D）三阶均差为0

　　解答：

因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N（x）=f（x0）+f（x0，x1）（x-x0）它是不超过一次的多项式。

故选择（C）正确。

　　2.拉格朗日插值多项式的余项是（　），牛顿插值多项式的余项是（　）

　　（A）　

　　（B）f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）

　　（C）

　　（D）f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）

（A），（D）。

例12　证明方程1－x－sinx＝0在区间[0，1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0．5×

10-4的根要迭代多少次？

　　证明　令f（x）＝1－x－sinx，

　　∵f（0）=1>

0，f

（1）=－sin1<

0

　　∴f（x）=1－x－sinx=0在[0，1]有根。

又

　　f（x）=1－cosx>

0（x∈[0.1]），故f（x）＝0在区间[0，1]内有唯一实根。

给定误差限ε＝0．5×

10-4，有

只要取n＝14。

例13　证明：

方程f（x）=x3+4x2-10=0在[1，2]内有一个根，并用对分法求此根；

若要求误差│xn-x*│≤ε=10-5，估计至少需要对分多少次?

　　分析　若连续函数f（x）满足f（a）·

f（b）<

0，由介值定理知，存在x*∈[a，b]，使f（x*）=0假设f（x）于[a，b]上还单调，则f（x）=0于[a，b]上有唯一根x*。

由对分法公式，记，计算f（x1），若f（x1）=0，则x1即为所求根x*；

若f（x1）·

f（a1）>

0，则取a2=a1，b2=x1，否则取a2=a1，b2=x1。

继续下一步，计算，这样得到

为要使│xn-x*│≤ε，只需有。

易见f（x）在［1，2］上连续，f

（1）=-5，f

（2）=14，且f′（x）=3x2+8x>

0，x∈[1，2]，故f（x）=0在[1，2]内有唯一根。

　　为使误差│xn-x*│≤10-5，只需，即16．6，所以只需对分17次就能达到给定的精度。

具体计算结果列于表1。

　　注　x12=1．364990234，而x*=1．36523001。

例14　用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。

计算过程保留4位小数。

　　[分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间。

若建立迭代格式，即，此时迭代发散。

建立迭代格式

，此时迭代收敛。

　　，取初始值x0=1

　　取x*≈1.5185

例题分析四

例15　用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根。

计算中保留5位小数点。

　　[分析]先确定有根区间。

再代公式。

f（x）=x3－x2－1，f

（1）=－1，f

（2）=3，有根区间取[1，2]。

　　取x1=1，迭代公式为 

　　取x*≈1.46553，f（1.46553）≈－0.000145

例16　选择填空题

　　1.设函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足_________________，则方程f（x）=0在区间[a，b]一定有实根。

　　答案：

f（a）f（b）<

因为f（x）在区间[a，b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f（c）=0，故f（x）=0一定有根.

　　2.用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程（x）=0表成x=（x），则f（x）=0的根是（　）

　　（A）y=x与y=（x）的交点　　　　　（B）y=x与y=（x）交点的横坐标

　　（C）y=x与x轴的交点的横坐标　　　（D）y=（x）与x轴交点的横坐标

（B）

把f（x）=0表成x=（x），满足x=（x）的x是方程的解，它正是y=x与y=（x）的交点的横坐标。

　　3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3，1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（　）

　　（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D）

（A）

　　在（A）中，故迭代发散。

　　在（B）中，，故迭代收敛。

　　在（C）中，，故迭代收敛。

　　在（D）中，类似证明，迭代收敛。

例17　设x*为方程x=g（x）的根，g′（x）在x*附近连续，且│g′（x*）│<

1。

证明：

存在δ>

0，使对任意x0∈[x*-δ，x*+δ]，迭代格式xn+1=g（xn）（n=0，1，…）收敛于x*。

　　分析　根据迭代法收敛条件，只须证明存在δ>

0，使g（x）在[x*-δ，x*+δ]上满足；

x*-δ≤g（x）≤x*+δ及│g′（x）│≤L<

　　证　因│g′（x*）│<

1，由│g′（x）│在x*附近的连续性知，存在0<

L<