导数及其应用高考题精选含答案知识讲解Word下载.docx

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山东高考理科·

Ｔ7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（）

（A）（B）（C）（D）

【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.

【规范解答】选A,由题意得:

曲线y=,y=的交点坐标为（0,0），（1,1），故所求封闭图形的面积为,故选A.

4.（2010·

辽宁高考理科·

Ｔ10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）

（A）[0,）（B）（D）

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。

【规范解答】选D.

5.（2010·

湖南高考理科·

Ｔ4）等于（）

A、B、C、D、

【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

【思路点拨】记住的原函数.

【规范解答】选D.=（lnx+c）|42=（ln4+c）-（ln2+c）=ln2.

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·

江苏高考·

Ｔ8）函数y=x2（x>

0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2（x>

0）的图像在点（ak,ak2）处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x2（x>

0）得，，

所以函数y=x2（x>

0）在点（ak,ak2）处的切线方程为：

当时，解得，

所以.

【答案】21

7.（2010·

Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。

【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.

【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，

则：

方法一：

利用导数的方法求最小值。

，

当时，递减；

当时，递增；

故当时，S的最小值是。

方法二：

利用函数的方法求最小值

令，则：

【答案】

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。

高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：

换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。

8.（2010·

陕西高考理科·

Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为；

【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。

【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可

【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为

答案：

9．（2010·

理科T13）设y=f（x）为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为.

【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.

【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.

【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足≤的点落在y=f（x）、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.

10.（2010·

北京高考理科·

Ｔ１8）已知函数（）=In（1+）-+，（≥0）。

（Ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求（）的单调区间。

【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。

解决本题时一个易错点是忽视定义域。

【思路点拨】

（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；

（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。

【规范解答】

（I）当时，，

由于，，

所以曲线在点处的切线方程为

即

（II），.

当时，.

所以，在区间上，；

在区间上，.

故的单调递增区间是，单调递减区间是.

当时，由，得，

所以，在区间和上，；

在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

当时，

故的单调递增区间是.

当时，，得，.

所以在区间和上，；

故得单调递增区间是和，单调递减区间是

【方法技巧】

（1）过的切线方程为。

（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。

11.（2010·

安徽高考文科·

Ｔ20）设函数，，求函数的单调区间与极值。

【命题立意】

本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能

力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。

对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值。

+

-

极大值

极小值

【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，

简单易行，具体操作流程如下：

（1）求导数；

（2）求方程的全部实根；

（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；

（4）判断单调区间和极值。

12.（2010·

北京高考文科·

Ｔ１8）设定函数，，且方程的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；

（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。

【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。

（1）由的两个根及过原点，列出三个方程可解出；

（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立。

【规范解答】由得

因为的两个根分别为1,4，所以（*）

（Ⅰ）当时，（*）式为

解得

又因为曲线过原点，所以

故

（Ⅱ）由于a>

0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得。

又

解得

即的取值范围

（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；

当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点

（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。

恒大于0，则；

恒小于0，则；

13.（2010·

安徽高考理科·

Ｔ17）设为实数，函数。

（1）求的单调区间与极值；

（2）求证：

当且时，。

【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。

（1）先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；

（2）设，把问题转化为：

求证：

（1），

令，得，

在上单调递减，在上单调递增；

当时，取得极小值为

（2）设，

由

（1）问可知，恒成立，

当时，则0恒成立，所以在上单调递增，

所以当时，，

即当且时，。

1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；

2、证明函数不等式问题，如证，通常令，转化为证明：

。

14.（2010·

天津高考文科·

Ｔ20）已知函数f（x）=，其中a>

0.

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上，f（x）>

0恒成立，求a的取值范围.

【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f

（2）=3；

f’（x）=,f’

（2）=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）f’（x）=.令f’（x）=0，解得x=0或x=.

以下分两种情况讨论：

若，当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表：

X

f’（x）

f（x）

当等价于

解不等式组得-5<

a<

5.因此.

若a>

2，则.当x变化时，f’（x）,f（x）的变化情况如下表：

当时，f（x）>

0等价于即

解不等式组得或.因此2<

5.

综合

（1）和

（2），可知a的取值范围为0<

5.