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(二)直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的特征与识别
直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
图示
直线与圆的公共点个数
1
2
圆心到直线的距离d和半径r的关系
d>r
d=r
d<r
公共点名称
无
切点
交点
直线名称
切线
割线
(三)切线
1、切线的判定和性质
切线的判定定理:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径
注意:
要识别直线是否为圆的切线,常用以下两种方法:
①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.如果直线和圆的公共点没有确定,则过圆心,作已知直线的垂线段,再证这条垂线段等于半径,即“作垂线证半径”.
②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.即已知直线与圆有一个公共点时,连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直,简称:
“连半径证垂直”;
切线的性质定理也有两个推论:
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
2、切线长与切线长定理
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.下图中PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长.
由前面的知识可知,过圆上一点可以引一条直线与圆相切,所以有:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
即:
如上图,因为PA、PB是⊙O的切线,所以PA=PB,∠APO=∠BPO.
3、三角形与圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.
(四)圆与圆的位置关系
如果设两圆的半径为、,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表
【典型例题】
例1、如图,已知⊙O的半径为r=10,圆心O到直线l的距离OD=6,在直线上有A、B、C三点,且AD=6,BD=8,CD=5.问A、B、C三点对于⊙O的位置关系各是怎样?
分析:
只要计算出这些点到圆心的距离,看其是大于、等于还是小于圆的半径,就可以相应得出点在圆外、圆上、圆内的位置关系来.
解:
连结OA,在Rt△AOD中,
<10,即OA<r,则点A在⊙O内;
同理,,即OB=r,则点B在⊙O上;
>10,即OC>r,则点C在
⊙O外.
例2、在平面直角坐标系中,以A(1,2)为圆心的圆的半径满足下列条件时,分别求出其半径的取值范围:
⑴与坐标轴只有唯一交点;
⑵与坐标轴只有两个交点;
⑶与坐标轴只有三个交点;
⑷与坐标轴有四个交点.
因为点A到x轴的距离是2,到y轴的距离是1,所以与坐标轴只有唯一交点,就是与y轴相切而与x轴相离;
与坐标轴只有两个交点,就是与y轴相交而与x轴相离;
与坐标轴只有三个交点,就是与y轴相交而与x轴相切;
与坐标轴有四个交点,就是与x轴、y轴都相交.
⑴r=1;
⑵1<r<2;
⑶r=2或r=;
⑷r>2且r≠.
例3、在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=3,若以C为圆心画⊙C,当⊙C的半径r为多少时?
⊙C与线段AB的交点分别为0个、1个、2个.
首先要审清题意,不能误以为⊙C与直线AB的交点分别为0个、1个、2个.⑴⊙C与线段AB的交点分别为0个,有两种情况:
⊙C与直线AB相离或点A在⊙C内而点B也在⊙C内;
⑵⊙C与线段AB的交点分别为1个,有两种情况:
⊙C与直线AB相切或点B在⊙C内而点A在⊙C外;
⑶⊙C与线段AB的交点分别为2个,有两种情况:
线段AB与⊙C相交或点A在⊙C外而点B和线段AB上其它一点在⊙C上.
先求点C到AB的距离d,利用Rt△ABC的面积的两种求法来求出CD的长,
因为 AB=
而S△ABC=AB·
CD=AC·
BC
所以 5CD=3×
4, CD==2.4
所以当⊙C的半径r满足r﹤2.4或r﹥4时,⊙C与线段AB的交点分别为0个;
当⊙C的半径r满足r=2.4或3﹤r﹤4时,⊙C与线段AB的交点分别为1个;
当⊙C的半径r满足2.4﹤r≤3时,⊙C与线段AB的交点分别为2个.
例4、如图,C是⊙O的直径延长线上一点,D是⊙O上一点,且AD=CD,∠C=30°
,DC是⊙O的切线吗?
为什么?
要说明一条直线是圆的切线,需要有两个条件:
⑴经过半径的外端,⑵垂直于这条半径.此题中已知点D在圆上,则只须说明该直线垂直于过这一点的半径;
由D是⊙O上一点,因此连结OD,判断OD与DC是否垂直即可.
DC是⊙O的切线
理由如下:
连结OD
因为 AD=CD
所以 ∠A=∠C
因为 OA=OD,∠C=30°
所以 ∠ODA=∠A=∠C=30°
因为 ∠DOC=∠A+∠ODA=60°
所以 ∠ODC=90°
所以 DC是⊙O的切线.
例5、已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°
,AB是⊙O的直径,且AB=AD+BC,试说明:
CD是⊙O的切线.
要说明一条直线是圆的切线,有两种方法,此题因为不知CD是否过⊙O上的点,所以要说明CD是⊙O的切线,只好说明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径.
证明:
过O作OE⊥CD,垂足为E,
则OE∥AD∥BC.
又AO=BO,所以DE=CE.
所以OE是梯形ABCD的中位线,
所以.
又因为AB=AD+BC,所以.
即圆心O到直线CD的距离OE等于⊙O的半径,所以CD是⊙O的切线.
例6、下列结论正确的是().
A、垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B、经过半径外端的直线是圆的切线
C、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
因为经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,需要有两个条件:
(1)经过半径的外端,
(2)垂直于这条半径,所以A、B都不对;
又因为到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线,这是一个点到直线的距离,所以C也不对,只有D是正确的.故选D
例7、如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F为切点,AB=12,BC=14,CA=18,求AE、BF、CD的长.
三角形的三边及内切圆构成了切线长定理的基本图形,此题可利用构造方程组来解几何题.
设AE=x,BF=y,CD=z.由切线长定理知,AE=AD,BF=BE,CD=CF,
所以解得
答:
AE=8,BF=4,CD=10.
例8、两圆半径是R和r(R>r),圆心距是d,且R2+d2-r2=2dR,则两圆的位置关系为()
A、相交B、内切C、外切D、内切或外切
根据R2+d2-r2=2dR这一已知条件,来推出圆心距d与两圆的半径R和r之间的大小关系,从而得出两圆的位置关系.
因为R2+d2-r2=2dR所以R2-2dR+d2=r2即(R-d)2=r2,r=±
(R-d)
所以d=R-r或d=R+r,故选D
例9、如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,D是线段BC上一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.
⑴试说明AB2=AD·
AE.
⑵当D为BC延长线上一点时,第
(1)题中的结论成立吗?
若成立,试说明;
若不成立,请说明理由.
⑴因为点E也在⊙O上,利用“在同圆或等圆中,如果两弦相等,则其所对的两弧相等,此时两弧所对的圆周角相等”和相似三角形的性质可解此题.
⑵很多图形条件变动后,结论却不变,此题一样,此为中考热点.
⑴连结BE,因为AB=AC,所以=,
所以∠ABD=∠E,又∠1=∠1,
所以△ABD∽△AEB,
所以即AB2=AD·
⑵图形变化后,结论仍成立.
连结BE,因为AB=AC,所以=,
所以∠ABD=∠AEB,又∠BAE=∠BAE,
所以△ABD∽△AEB,所以
即AB2=AD·
AE.
例10、如图,⊙I是△ABC的内切圆,AB=9,BC=8,CA=10,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE为⊙I的切线,求△ADE的周长.
利用从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等这一定理来解答此题.注意弄清图形中的一些相等的线段.
设DE、AB、BC、CA分别与⊙I相切于点F、H、G、K.
则DF=DH,BH=BG,CG=CK,EK=EF,
所以△ADE的周长=AH+AK=AB+CA-BC=11.
例11、如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,AC切⊙O1于点A,交⊙O2于点C;
BD切⊙O2于点B,交⊙O1于点D,连结AB、AD、BC.
⑴试说明:
AB2=AD·
BC
⑵若∠C=∠D,问四边形ADBC是什么四边形?
请加以说明.
要说明AB2=AD·
BC,只要说明,即说明△ABD∽△BCA,所以只要找∠2=∠D,∠1=∠C.由于第一问中得到了△ABD∽△BCA,建立了角相等的对应关系,因此在说明ADBC的归属时,只须利用“两组对角分别相等的四边形为平行四边形”即可.
⑴因为 AC切⊙O1于点A
所以 ∠2=∠D
因为 BD切⊙O2于点B
所以 ∠1=∠C
所以△ABD∽△BCA
所以
所以 AB2=AD·
⑵若∠C=∠D,则四边形ADBC是平行四边形
因为 △ABD∽△BCA
所以 ∠3=∠4
又因为 ∠C=∠D
所以 ∠2=∠1
所以 ∠DBC=∠DAC
所以 四边形ADBC是平行四边形
说明:
弦切角等于它所夹弧所对的圆周角,这是一个相当有用的判别两个角相等关系的定理,其关系可以通过作出直径,可用同角的余角相等来证明,平时做题时我们可以直接运用.
【模拟试题】
(答题时间:
40分钟)
1、已知⊙O的半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为()
A、点在圆内B、点在圆上C、点在圆外D、不能确定
2、⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为,则点P与⊙O的位置关系是()
A、点P在⊙O内B、点P在⊙O上C、点P在⊙O外D、不确定
3、已知,如图,等边△ABC的边长为2cm,下列以A为圆心的各圆中,半径是3cm的圆是()
4、I为△ABC的内心,如果∠ABC+∠ACB=100°
,那么∠BIC等于()
A、80°