随机过程与排队论文档格式.docx

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火车售票处

售票员

售票大厅人满为患

加工车间

机床

零件

2.顾客是怎样排队的

服务窗

服务规则

排队

排队规则

顾客源

排队系统

1.顾客是怎样到达的

3.顾客是怎样接受服务

排队系统的三大要素：

1.输入过程2.排队规则：

队列允许的最大长度3.服务窗：

顾客是怎样接受服务的

1．输入过程：

顾客按什么规则进入系统？

一个个？

成批？

到达过程和到达时间间隔符合一定的分布，称到达分布。

假设：

到达过程和到达时间是独立同分布的。

到达过程假定为平稳的，对时间是齐次的。

注：

Markov齐次过程如果一个过程只依赖于现在，而不是过去。

。

表1输入过程的三种随机过程描述

名称

含义

在时间间隔（0,t）内到达系统的顾客人数

{,n=1,2,,,}

Sn表示第n个到达系统的顾客的到达时间

{，n=1,2,…}

表示第n个顾客与前一个顾客的到达时间间隔

按顾客到达过程的不同概率特性分类：

定长输入（D）：

顾客等间隔到达，

的分布函数为

Poisson流输入（M）:

系统的输入过程{M（t）>

0}是Poission流

满足4个条件：

a）M（t）取值为非负数

b）P（M（0）=0）=1,即时间间隔为0时到达系统的人数为0

c）过程{M（t）}具有平稳独立增量性

d）每一个增量M（a+t）-M（a）非负，且服从参数为的泊松分布

k阶Erlang输入（Ek）

一般独立输入（G）：

顾客的到达过程{}是独立同分布的随机变量序列，其分布函数可以是任意函数。

成批到达系统：

顾客一批批到达系统，每批相继到达的时间间隔为上述各种分布之一。

2．排队与服务规则

损失制（无排队队列）：

顾客到达时，系统被占用，顾客离去，不再回来。

例：

？

排队制（等待制）先到先服务、先到后服务、随机服务、优先服务（VIP）、多服务台（?

）

混合制：

✓排队长度有限：

✓等待时间有限：

血浆生物制剂

✓逗留时间有限（等待时间语）：

药品的有效期

3．服务机构

服务机构包括：

✓服务员个数

✓服务机构的结构形式：

串联、并联、混联

✓服务过程：

即服务时间

3.1详解

服务机构的结构形式：

单队列单服务员（图）

多服务员

服务过程：

第n个顾客在系统里接受服务的时间

✓定长分布（D）:

每个顾客被服务的时间是常数C,其分布函数为：

✓负指数分布（M）:

每个顾客的服务时间v1,v2,….vn都是独立同负指数分布

✓Erlang服务分布（）

✓一般独立服务分布（G）:

顾客接受服务时间是独立同分布的非负随机变量，分布函数任意。

4．排队系统的分类与符号

1953年由英国数学家肯达尔提出------肯达尔模型。

组成：

A/B/C/D/E/F

A:

顾客到达间隔时间的分布（输入过程）

B：

服务窗服务时间的分布（服务过程）

C：

服务窗个数

D：

系统中允许的最大顾客数，默认无穷

E：

顾客源中顾客数，默认无穷

F：

服务规则：

先来先服务时刻省略不写

M/M/C/K排队系统意义

G/E3/2/排队系统意义

2.4排队论的特性指标

1.瞬态特性指标:

对于任意时刻的t的对长（系统内的顾客数，包括排队等服务员的顾客数加上接受服务的顾客数）、顾客在系统中的等待时间、逗留时间等。

上述指标绝大多数都是随机变量或随机过程，因此主要关注他们的概率特性分布与期望特性。

表2.3排队论的瞬态特性指标

t时刻系统的队长（总顾客数）

t时刻系统的等待队长（顾客排队的人数）

t时刻系统忙的服务员个数（接受服务的顾客数目）

t时刻系统队长为j的概率

t时刻系统的平均队长

t时刻系统的平均等待队长

t时刻系统忙的服务员平均个数

t时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间

t时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间（排队时间）

t时刻到达系统的顾客在系统中接受服务时间

t时刻到达系统的顾客在系统中的平均逗留时间

t时刻到达系统的顾客在系统中的平均等待时间（排队平均时间）

t时刻到达系统的顾客在系统中接受服务平均时间

由上表可得以下公式：

2．稳态特性指标

一个排队系统，在其运行的初始阶段，各个特性指标和t密切相关，受初始条件的影响较大（瞬态过程）。

但在经过足够长的运行时间后，系统地工作状态趋于平稳，各特性指标不再和实间t有关，受初始条件影响较弱，则称排队系统已由过渡阶段进入平稳状态（重点）

表2.4排队论的稳态特性指标

系统队长（总顾客数）

系统的等待队长（顾客排队的人数）

系统忙的服务员个数（接受服务的顾客数目）

系统队长为j的概率

系统的平均队长

系统的平均等待队长

系统忙的服务员平均个数

到达系统的任一顾客在系统中的逗留时间

到达系统的任一顾客在系统中的等待时间（排队时间）

到达系统的任一顾客在系统中接受服务时间

到达系统的任一顾客在系统中的平均逗留时间

到达系统的任一顾客唉系统中的平均等待时间（排队平均时间）

到达系统的任一顾客在系统中接受服务平均时间

绝对通过能力：

单位时间内被服务完成顾客的均值

相对通过能力：

单位时间内被服务完顾客数与请求顾客数之比值

系统的损失概率，即系统满员的概率

由上表得出：

当系统趋于稳定时：

=到达率

顾客到达

队列

分配规则

服务员

离开

图2.6单服务员队列稳态指标

2.6LIttLe公式

对一个排队系统，一般假定满足以下3个条件：

（1）排队系统能够进入稳定状态

（2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不总会处于盲期

（3）系统中任意顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达

若上述假设成立，则有little公式：

注意：

1。

只关注三个量的平均统计值

2．对顾客的到达时间间隔分布、服务时间分布、排队规则不做要求

3．必须针对同一顾客群

直观的解释

综上两个公式和little公式，得知，只要求得或，再知道四个指标中的任一个，其他3个就可以立即求出，从而解得排队系统。

通常容易从统计中获得，而容易从理论中获得。

●概率论回顾

Markov过程：

当随机过程在时刻所处的状态为已知，过程在大于的时刻所处的概率只与有关，而于以前的时刻无关，此性质为无后效性。

MarkovChain（MC）

Discrete-timeMarkovChain（DTMC）

Continuous-timeMarkovChain（CTMC）

马尔科夫链n时刻的k步转移概率：

n时刻MC处于状态i,经过k步时间，系统处于j状态的概率：

转移概率特点：

特别的，当k=1时，得到一步转移概率

其一步转移概率矩阵P

（1）为：

的状态

的

状

态

K步转移概率矩阵记为P（k）

本课程研究时间齐次马尔可夫过程：

系统行为不依赖于观测时间，即马尔科夫过程中的条件分布函数不随观察起始时刻的变化而变化，我们可以任选时间轴为起点。

N时刻的k步转移概率：

从状态i到状态j的概率和时刻n无关，称这类MC为时齐马尔科夫链。

例1.1只传输数字0和1的串联系统。

如下图所示，设每一级的传真率为p，误码率为q=1-p,设一个单位时间传输一级，X0是第一级的输入，Xn是第n级的输出。

0-1传输系统

分析：

是一个随机过程，状态空间I={0，1}是一个齐次马尔科夫过程，转移概率和一步转移概率矩阵为：

一步转移概率矩阵

例1.2一维随机游动设一质点在如图所示的直线的点集I={1，2，3，4，5}上随机游动，并仅在1秒、2秒等整秒时刻发生游动。

一维随机游动

游动规则是：

如果Q现在位于点i（1<

i<

5）,则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动一格，或以1/3的概率留在原处；

如果Q位于1（或5）这点上，则下一时刻就以概率1游动到2（或4）这一点上。

1和5这两点称为反射壁，上述现象为带有两个反射壁的随机游动。

表示时刻n时Q的位置，不同的位置就是的状态。

所处的状态的概率分布只与=i有关，而与Q在时刻n之前如何到达状态i无关，因此该过程是马尔科夫过程，并是齐次的。

一步转移概率：

例1.3初始时Z0=（1，0），状态转移概率，问n步后的状态？

问题：

一步转移矩阵最终收敛到稳态，且收敛有快有慢，这与矩阵的什么有关？

例1.4排队模型设服务系统由一个服务员和只可容纳2人的等候室组成，服务规则是：

先到先服务，后来者须在等候室依次排队。

假定一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客（一个正在接受服务，两个在等待时排队），则该顾客离去。

设时间间隔内将有一个顾客进入系统的概率为q,有一原来被服务的顾客离开系统（服务完毕）的概率为p.又设当充分小时，在这一时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的。

该系统是马尔科夫链。

设表示时刻时，系统内的顾客数，即系统的状态。

是一个随机过程，状态空间I={0,1,2,3}.下面来计算此马尔可夫链的一步转移概率。

?

例1.9某计算机机房的一台计算机经常出现故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态，收集了24小时的数据（共作97次观察），用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：

111001*********0011110111111001111111110001101101

111011*********101110111101111110011011111100111

设Xn为第n（n=1，2，…，97）个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马尔可夫链，状态空间I={0，1}，96次状态转移的情况是：

因此，一步转移概率可用频率近似地表示为：

马尔可夫特性隐含的重要结论：

过程在任何状态的逗留时间（SojournTime，ST）的分布必定具有无记忆性（MemorylessProperty）。

若过程未来的演化只依赖于过程当前的状态，则状态的剩余逗留时间必定与过程在该状态已经花费的时间无关。

在例1.9中，若计算机在前一时段（15分钟）的状态为0，问从本时段起此计算机能够连续正常工作一个小时的概率是多少？

1.4离散事件马尔科夫链的性质

五个基本性质：

互通性、周期性、常反性、遍历性和稳定状态的分布。

1．互通性

互通性：

若有两个状态i和j,ij同时ji则称i和j状态相通，记为

可达性：

某俩个状态i和j的n步转移概率大于0,即

，则称状态i可以到达j,记为

图1所示。

互通性满足三条性质：

（1）自反性：

ii每个状态0步转移到自己

（2）对称性：

ij当且仅当ji

（3）传递性：

若ik且kj,则ij

例1：

例1.2一维随机游动设一质点在如图所示的直线的点集I={1，2，3，4，5}上随机游动，并仅在