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目录
辅助函数法与非线性方程的精确解
摘要：
提出寻找非线性发展方程精确解的辅助方程法，并利用辅助方程法的构造性和机械化性特点，引入一种新的辅助方程，作为实例利用这种方法得到一个非线性发展方程的新的精确解.
关键词：
辅助方程法；
辅助函数；
非线性发展方程；
精确解
Theexactsolutionofauxiliaryfunctionmethodandnonlinearequations
Abstract:
theauxiliaryequationmethodisproposedtofindexactsolutionsofnonlinearevolutionequations,andtheuseofauxiliaryequationmethod,structuralandmechanicalcharacteristics,theintroductionofanewauxiliaryequation,anonlinearevolutionequationofnewexactsolutionsasexamplesoftheuseofthismethod
Keywords:
Auxiliaryequationmethod;
Auxiliaryfunction;
Nonlinearevolutionequation;
Exactsolution
引言
非线性学科是现代科学的核心，它研究自然科学中许多现象，如孤波、混沌、吸引子等都是非线性问题，研究面非常广．而非线性的许多问题都可以归结为求非线性偏微分方程的精确解问题．因此，求非线性偏微分方程精确解不管在理论上还是应用上都具有重要的价值．但由于非线性的复杂性，许多重要方程仍无法求出精确解，有的即使能够求得，也需要很多的技巧，目前尚无统一有效的方法．
经过不断努力，学者专家们发现了一系列的方法，如反散射方法[1]，Darboux变换[2]，Backlund变换[3]，双函数法[4]，F-函数展开法[5]，tanh函数法[6]-[10]椭圆函数展开法等.这些方法都是通过一个辅助的方程的解来代替双曲正切函数法中的双曲正切函数来实现的,如用Riccati方程,Jacobi椭圆函数方程,Weierstrass椭圆函数方程,耦合的Ricatti方程，，Bernoulli方程等.
由以上我们可以得出，非线性发展方程不同的精确孤立波解可以由不同的辅助函数法得到，本文重点研究了辅助函数法及其中的一种推广形式，辅助函数法作为求解非线性偏微分方程的一种有效方法，较其他方法来说，简便易行，算法直接.且这种方法做适当推广后，还能得到更多不同形式的精确解.文中是用辅助函数法及其推广分别求解一个非线性方程，得到了不同算法下不同类型的精确解，丰富了它解的类型，相信这对于非线性偏微分方程界的研究具有重要的价值.
1.预备知识
1.1辅助方程法
假设以下是给定的非线性发展方程
（1）
具有形式的解，然后将其代入方程
（1）得常微分方程
，
（2）
我们取,假如方程
（2）有如下形式的解
（3）
其中为待定的实数，为自然数，假设满足下面的常微分方程
，（4）
其中为待定常量.经计算可得方程（4）的精确解为
（5）
将（3），（4）代入
（2）后令的各次幂的系数等于零，则得到一个以为未知量的非线性代数方程组.求得这个非线性代数方程组的解的每组解同（5）一起代回到（3）就得出非线性发展方程
（1）精确孤立波解.
2.方法的应用
下面用具体例子来说明如何利用辅助函数法和新辅助函数法寻找非线性发展方程的精确孤立波解.
2.1考虑Joseph-Egri方程
（6）
其中为常数.将代入（6）得常微分方程
（7）
关于积分一次得
（8）
由领头项分析法平衡上式中的则得,即，
从而可设方程（7）有形如
（9）
（10）
（11）
（12）
的解，其中为待定常数.
对（4）求导得
（13）
因为故消去除以2得
（14）
再将（9），（11）和（14）代入（8）中后得
（15）
令的系数等于零
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
解方程（16）得
或
由方程（20）得
当
消去得
还有可能，解方程组（17）得
或
由方程（19）得
所以
则
当时
综上所述可知
或
且
将和（5）一起代入（7）可得
2.2辅助方程法解另一个非线性方程
非线性方程如下
（21）
我们假设方程（21）具有，形式的解，然后将其代入方程后积分一次得
（22）
由领头项分析法平衡上式中的与则得
，得
从而可设方程（21）有形如
（23）的解，其中为待定的常数
再将（4）与（23）代入（21）得
令的各项系数等于零，就可以得到一个非线性方程组
（24）
（25）
（26）
（27）
其中
解方程（24）得或者
解方程（27）得
（Ⅰ）当时解方程（26）得
（Ⅱ）当时解得
（Ⅲ）当时解得
当时解方程（25）得
当时解方程（25）得
综上所述可得
又或者
将连同（5）一起代入（23）得到方程的解
结束语
本文主要根据辅助函数法，逐步求解出了Joseph-Egri方程的显式精确解，然后又找出了一种推广形式的辅助函数法展开法．推广形式的辅助函数法对解的形式做了新的改进，相对于新辅助函数法，虽然解的一般形式比原来的辅助函数展开法麻烦，求解的整个过程很复杂，但是由于对精确解有了改进，根据此可以得出了更多不同类型的显式精确解．本文就是又利用了改进的方法求解了Joseph-Egri方程，得出了其不同类型的精确解．
本文寻找的精确行波解都是常系数非线性偏微分方程，而对于非线性变系数偏微分方程是否能用上面的方法进行研究值得进一步思考．
参考文献
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[3]杨潇，王军民．一类微分差分方程的无穷守恒律及Backlund变换（英文）[J]．数学季刊.2007（02）
[4]关伟，张鸿庆.求解非线性方程的双函数法[J].高校应用数学学报A辑（中文版）.2001（02）
[5]范恩贵，张洪庆．齐次平衡法若干新的应用[J]．数学物理学报.1999（03）
[6]王三五，于鹏.扩展的Tanh函数展开法与广义Kdv方程的精确解[J]．科学技术与工程.2009（11）
[7]徐振民，李柱．推广的Tanh函数法及其应用[J],广西民族大学学报（自然科学版）.2006（03）
[8]李德生，张鸿庆．改进的Tanh函数方法与广义变系数Kdv与Mkdv方程新的精确解[J]．物理学报．2003（07）
[9]罗琳，徐国进．对Tank函数法的推广及其在非线性方程中的应用（英文）[J]．孝感学院学报．2004（03）
[10]张柱戊，李志斌，段一士.非线性波方程的精确孤立波解[J].中国科学（A辑）.2000（12）
致谢
大学四年的生活就要接近尾声了，回想起在这里度过的时光，总是觉得快乐与充实的．这四年里，我不仅学到了许多专业知识，而且学会了如何更好地为人处事，同时也提高了处理事情的能力．我衷心感谢那些向我提供过帮助的老师与同学，是你们让我真正成熟起来，我想这大学四年的求学生涯将会是我人生道路上的一大财富，感谢我的母校！
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最后，我还要衷心感谢我的父母，感谢他们对我多年的培养和教育，因为他们，我才有机会如愿完成自己的大学学业，没有他们就没有我的今天！
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