数学建模饮酒驾车问题论文正稿Word文档格式.docx
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饮酒驾车问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，酒精在体内被吸收后，血液
中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80
毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？
讨论问题：
1、对大李碰到的情况做出合理解释；
2、在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多长时间内驾车会违反标准，喝酒时间长短不同情况会
怎样？
3、分析当司机喝酒后何时血液中的酒精含量最高；
二、模型假设
1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。
2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。
3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失。
4、测量设备完善，不考虑不同因素所造成的误差。
5、酒精在体液中均匀分布。
三、符号说明
ko：
酒精从体外进入胃的速率；
fi（t）:
酒精从胃转移到体液的速率；
f2（t）：
酒精从体液转移到体外的速率；
X（t）:
胃里的酒精含量；
Y（t）:
体液中酒精含量；
Vo：
体液的容积；
Ki:
酒精从胃转移到体液的转移速率系数；
K2:
酒精从体液转移到体外的转移速率系数；
C（t）:
体液中的酒精浓度。
Do:
短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。
T:
较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间
四、模型的分析与建立
（1）、模型分析：
假设酒精先以速率ko进入胃中，然后以速率fi（t）从胃进入体液，再以速率f2（t）
从体液中排到体外。
根据假设可以建立如图一所示的带有吸收室的单房室系统，其中胃为吸收室，体液为中心室
体外
fl（t）
体外」
K2
£
2Ct）
KL
体
液
tO
y（tD
）
图一
（2）模型建立:
用x（t）与y（t）分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c（t）表示酒精在体液中的
浓度。
根据酒精从胃进入体液的速度fi（t）与胃中的酒精量成正比，速率系数为Ki；
酒精从血液中排出的速率f2（t）与血液中的酒精量y（t）成正比，速率系数为K2，可以建
（1）
立方程如下：
fi（t）=kix（t）
f2（t）*2y（t）
（2）
（3）
dx（t）
dt
将
（1）式代入（3）式可得:
通过移项，上式可以转化为；
■dXt）&
x（t）二ko（5）
利用一阶线性常微分方程的常数变易法对（5）式求解，可以得到;
x（t）=C|e上11+人
说上（6）
ki
G+A=x（0）=x0
又因为fi（t）二kix（t），联合（6）式可得:
fi（t）二kiC1eJKltkiA（7）
ko
又对中心室（即体液）可建立方程组如下;
（8）
dy（t）
“dt
y（o）=y°
将
（2）式代入（8）式可得；
如二f1（t）-k2y（t）dt
将上式转化为：
■dy°
k2y（tHf1（t）
因为f,t）二（kix。
-ko）eAltko，将其代入上式可得到:
求解（11）式可得;
又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，c（t）=晋，即:
（三）模型的讨论：
1、当酒是在较短时间内喝时
此时有x（0）=Do=X。
，k°
=0，Co=0o
k0k1xo-koC2
因为有A3-，B3一—，C3-
k2Vo（k2—kjv。
Vo
所以经计算整理后可得：
a3=o，b3'
D0，c3--B3
（k2-kjVo
将A3，B3，C3代入式（11）可以得到：
酒在较短时间内喝下去时，体液中的酒精浓度与时间的函数关系式如下所示：
c（t）一Bse如Bse^
=-B3（e*t-e^）（12）
kot-M]
=A[e2-e1]
（其中A"
「暑）当t比较大时，显然K1>
>
K2因此可认为:
c（t）：
Aekt=inc（t）=lnA-K2t
利用数表一：
时间（小时）
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
酒精含量
30
68
75
82
79
58
51
50
41
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
38
35
28
25
18
（表一）
通过Matlab进行曲线拟合可得：
A=118.5459，k2=0.1940
根据查阅资料可知：
一瓶啤酒的酒精量一般为640ml,密度为810mg/ml酒精浓度为84.5%
所以两瓶啤酒的酒精总量D0=26408104.5%=46656mg
由于体重为70kg,体重的65流右，体液密度为1.05mg/ml，所以可得体液的总体积为
由A西可求得：
匕=2.114。
（匕-k2）v°
可得短时间内喝下两瓶啤酒时血液中的酒精含量与时间的关系式如下;
/£
\”/ic厂/厂cr-0.1940t-2.114t■■
c（t）=118.5459[e-e]（13）
用Matlab软件画出图形为：
（图二：
拟合曲线）
2、当酒是在较长时间内喝时
我们可将其进行分段讨论。
当,0,T】时，同样可以得到:
詈=k°
-kiX（t）
dt（14
警=f2（t）-k2y（t）
.dt
但此时k0二D°
，x（0）=0，y（0）=0
可得：
y（t）二c2e"
A2B2e*t
（其中A2=k°
k2
B2
kiX。
一ko
A2B2C2二y（o）=yo）
根据上式可得到:
c（t）=C3e-2t-A3Bse—'
t
（其中
C3
Xo
k2Yo
kixo-ko
B3:
（k2-ki）vo
即:
c（t）=-（AsB3）e増A3BseM
k^t&
t-kdt、
二A3（1-e2）-B3（e2-e1）
可以求得：
=28.0386772
k0-Do-46656
B3二
（k2-kjvoT（k2-kjvo2（0.1940—2.114）汇433.33
所以可得：
c（T）=A3（1-e姒）-B3（e®
-e°
T）
B[e±
T-e^1T]
二Be如
当tT时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下：
&
Xo—ko
其中X仃）100
■IdTko
e
k1
电[1j]
k0
k2T
、丄ko
r•MT•k2T_
MT）
[1-e
]
[e-e]
k2yo
（k1-k2）
综上所述，可得，当t-T时
敢⑴耳”心）_eM」）]+C（T）e±
（5
（ki—k2）vo
』x（T）=H【1—e^]（17）
c（T）=^^[1_e上2t]+k。
[e占T_e」2T]
.k2y。
k「k2
五、问题的解答
问题一：
假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，可知人体中血液中的酒
精含量与时间的函数关系式如下；
c（t）k1D0[e」2t—e^]
（k1—k2）v0
根据求解可得，k1=2.114，k2=0.1940，D0=23328mg，v0=433.33
所以可求得，c（t）=59.27295[e°
1940t-e』114t]
当t=6时，可以求得c（t）=18.2778mg/百毫升，小于国家规定的新标准，所以第一次遭遇检查时没有被认定为是饮酒驾驶，见图二
图三
接着，大李在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，此时大李体内还留有第一次喝后残留酒精，所以第二次体内的酒精含量，应该是二喝酒后体内酒精的叠加，此时我们认为大李是在较长时间内喝的，根据所建模型，有：
c（t）=A[e*2t—e^]A[e±
T_e°
2）]
已知，A=59.27295,k2=0.1940,ki=2.114,T=6.
所以可以求出当t=14时，c（t）=20.3618mg/100ml大于国家新规定的20mg/100ml,所以第二次虽然迟了二个小时，但检查出来时，酒精还是超标的，见下图：
图四
所以从以上分析可知，虽然大李是喝相同量的酒，且第二次检查时离喝酒时间比第一次延长了二个小时，但由于第一次喝后体内还留有第一次剩余的酒精，并且第二次是较长时间内喝的比第一次短时间内喝的达到标准所需时间要大，所以第二次会被认定是饮酒
驾车，大李的这种遭遇我们可知，一个人人体内血液中的酒精含量不仅与所喝的酒量有关，而且还与喝酒所用的时间快慢及体内血液中原来的酒精含量也有关。
问题二
（1）当酒是在较短时间内喝时，根据已建立的基本模型，可知，人体血液中的酒精含量与时间的函数关系式为：
c（t）二ce妇站e*t人（18）
（k^k2）vgk2vo
因为是短时间喝，此时，Xo=Do，ko=0，所以上式可转化为：
c（t）=ce&
t一kQ。
©
Kt（19）
K—k2）v。
由于c（0）=0，所以
c（t）鯉[e±
2t—e「（20）
（ki—k2）vo
因为喝了三瓶啤酒，则有Do=36408104.5%=69984mg,
7^<
65%<
10“古甘#.cc.—
v0433.33百毫升,k2=0.1915,&
=2.114o
1.05100
所以：
c（t）=177.81885[eE940t-e2114t]
当c（t）=20毫克/百毫升时，可求得t-11.261小时。
所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认
为是饮酒驾车。
（2）当酒是在较长时间内喝时，根据模型可知，人体中血液内洒精
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