物理题目中的数学归纳法Word格式文档下载.docx

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已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.

（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。

（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。

（供使用但不一定用到的对数值：

lg2=0.301，lg3=0.477）

此题完全可以一次次往下算，不见得非要走捷径

解法

（二）：

一次次算

设雪橇运动的方向为正方向。

狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi,狗的速度为Vi+u；

狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V1′，由动量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：

MV1+m（V1+u）=0

V1=－

第一次跳上雪橇：

MV1+mv=（M+m）V1′

第二次跳下雪橇：

（M+m）V1′=MV2+m（V2+u）

V2==3m/s

第二次跳上雪橇：

=3.5m/s

第三次跳下雪橇：

第三次跳上雪橇：

（M+m）V3=

V3′==185/4m/s=4.625m/s

第四次跳下雪橇：

（M+m）V3′=MV4+m（V4+u）

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。

因此，狗最多能跳上雪橇3次。

雪橇最终的速度大小为5.625m/s.

解：

（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度V1′满足

可解得

将代入，得V1′=2m/s

（2）解法

（一）

设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度Vn-1′满足

这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn满足

解得

狗追不上雪橇的条件是Vn≥v

可化为

最后可求得

代入数据，得

狗最多能跳上雪橇3次

雪橇最终的速度大小为V4=5.625m/s

（08四川）一倾角为θ＝45°

的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。

在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。

小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。

当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。

重力加速度g＝10m/s2。

在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

25．（20分）

解法三：

一次次计算，得到结果

设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得

①

得：

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’，依牛顿第二定律有

②

小物块第一次下滑到最低点时

得③

小物块第一次沿斜面向上运动的最距离为

小物块第二次下滑到最低点时

得④

小物块第二次沿斜面向上运动的最距离为

小物块第三次下滑到最低点时

得⑤

小物块第三次沿斜面向上运动的最距离为

小物块第四次下滑到最低点时

得⑥

以沿斜面向上为动量的正方向。

按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

⑦

总冲量为⑧

代入数据：

I

得N·

s⑨

解法一：

动能定理求速度，然后数学归纳

设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。

由功能关系得

v=4m/s①

按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则

③

同理，有

④

⑤

式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。

由①②③④⑤式得

⑥

式中⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

⑧

总冲量为

⑨

由⑩

得⑾

代入数据得N·

s⑿

解法二：

运动学公式求速度，然后数学归纳

设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则

由①②③式得

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

⑥

由②⑤⑥式得⑦

式中⑧

同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

⑨

由④⑦⑨式得⑩

⑾

总冲量为⑿

由⒀

得⒁

s⒂

07（全国一）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。

现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°

的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。

在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。

已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低处。

求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°

。

利用数列知识求通项公式

设第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球速度为vn，金属球速度为Vn，碰撞过程动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左为正，有

………………………………①

………………………②

由①、②式及M=19m解得

………………………③

………………………④

……………………………………⑤

绝缘球m从60°

位置摆到最低点，由机械能守恒定律：

………………………⑥

绝缘球m从最低点摆回到45°

位置，由机械能守恒定律：

………………………⑦

由⑥、⑦式得=0.77v0……………⑧

当vn<

v即：

<

0.77v0时，绝缘球摆角小于45°

……⑨

而,

所以经过3次碰撞θ将小于45°

2011石家庄二模（在最后的数据的处理上有些与07年高考相似）

26．（21分）如图所示，在某一平面上，有以点为圆心的匀强磁场区域I、II，磁感应强度大小均为。

半径为的圆形磁场区域I内，磁场方向垂直该平面向里；

内径为的环形磁场区域II内，磁场方向垂直该平面向外。

现有一个质量为、电荷量为+的粒子从边界上的点沿半径方向射入圆形磁场区域I，当粒子回到点时，粒子与圆心的连线恰好旋转一周。

（不计粒子所受重力）（太难理解）

（1）若环形磁场区域II外径足够大，求该粒子的运动速度

（2）若环形磁场区域II外径为，求该粒子回到点时所需的最短时间

计算过程中可能用到的数据参考下表：

26．（21分）解：

（1）设粒子运动的半径为r，则有：

（3分）

得（1分）

如图，O1为粒子运动的第一段圆弧AB的圆心，O2为粒子运动的第二段圆弧BC的圆心，∠AOB=∠BOC=2θ，

根据几何关系可知：

tanθ=②（2分）

如果粒子回到A点，则必有：

n×

2θ=2π（n=3，4，5……）③（2分）

由①②③可得v=（n=3，4，5……）（2分）

（3）粒子与圆心O的连线旋转一周时，能回到A点的情况下，设粒子与圆心O的最远距离为rn

rn=R+

rn=R+（n=3，4，5……）（3分）

粒子做圆周运动的周期

T=（2分）

所用时间tn==（n=3，5，7……）（1分）

tn==（n=4，6，8……）（1分）

若垂直纸面向外的磁场是以O为圆心内径为R，外径为R的环形边界磁场，计算可知

n=6时,,n=7时，（2分）

粒子回到A点所需时间最短，最短时间为t=（2分）

此题的中学解法还是比较习惯于，

rn=R+≤

得

利用数学方法得

利用表中数据

tn===

（95）如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1，2，3…）.每人只有一个沙袋，x>

0一侧的每个沙袋质量为m=14千克，x<

0一侧的每个沙袋质量m′=10千克.一质量为M=48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.（n是此人的序号数）

（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?

（2）车上最终有大小沙袋共多少个?

走归纳的路子

（1）

1．

2．

3．

n．

要使小车反向，则

即：

M-nm>

0　　　　　　

　　M-（n+1）m<

代入数字，得：

n＜M/m=48/14　　　n＞（M/m）-1=34/14

n=3

（2）

向右走加三个后，开始向左走

vn-1′>

0，vn′≤0

即M+3m-nm′>

0　　　　　　⑤

M+3m-（n+1）m′≤0　⑥

或：

n＜（M+3m）÷

m′=9

n＞（M+3m）÷

m′－1=8

8≤n≤9

n=8时，车停止滑行，即在x<

0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住.故车上最终共有大小沙袋3+8=11个

利用递推公式：

（1）在小车朝正x方向滑行的过程中，第（n-1）个沙袋扔到车上后的车速为Vn-1，第n个沙袋扔到车上后的车速为Vn，由动量守恒定律有

[M+（n-1）m]Vn-12nmVn-1=（M+mn）Vn

Vn=［M-（n-1）m]Vn-1÷

（M+mn）　　　　①

小车反向运动的条件是：

Vn-1>

0，Vn<

0，即

　　　　　　　　M-nm>

0　　　　　　　②

　　　　　　　　M-（n+1）m<

0　　　　　　③

n应为整数，故n=3，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行

（2）车自反向滑行直到接近x<

0一侧第1人所在位置时，车速保持不变，而车的质量为M+3m.若在朝负x方向滑行过程中，第（n-1）个沙袋扔到车上后车速为Vn-1′，第n个沙袋扔到车上后车速为Vn′，现取在图中向左的方向（负x方向）为速度Vn′、Vn-1′的正方向，则由动量守恒定律有车不再向左滑行的条件是

[M+3m+（n-1）m′]Vn-1′－2nm′Vn-1′=（M+3m+nm′）Vn′

Vn′={[M+3m－（n-1）m′]Vn-1′}÷

（M+3m+nm′）　　　④

Vn-1′>

0，V