1多解问题Word文档格式.docx
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∥CB,∴△ADC'
’∽△ACB,又∵AC=3,BC=4,∴=,设CD=C'
’D=x,则AD=3-x,∴=,解得x=,∴CD=;
∵AC=3,BC=4,∴AB=5,如解图②,当∠DC'
’A=90°
时,由折叠可得,∠C=∠DC’'
E=90°
,∴C'
’B与CE重合,由∠C=∠AC'
’D=90°
,∠A=∠A,可得△ADC'
∽△ABC,∴==,设CD=C’'
D=x,则AD=3-x,∴=,解得x=,∴CD=。
综上所述,CD的长为或.
第1题解图①
第1题解图②
2.如图,在矩形ABCD中,AB=16,BC=40,点M为边BC的中点,沿过M的直线折叠,若点B恰好落在边AD上,则折痕长度为______.
第2题图
10或8【解析】如解图①所示,过点M作ME⊥AD于点E,则四边形ABME为矩形,∴EM=AB=16.AE=BM=B'
M=20.在Rt△EMB'
中,B'
E===12,∴AB'
=AE-B'
E=20-12=8.设AG=x,则
GB'=GB=16-x,在Rt△AGB'中,根据勾股定理得GB'
2=AG2+AB'
2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,∴GB=16-6=10.在Rt△GBM中,GM===10.如解图②所示,过点M作ME⊥AD于点E,则四边形ABME为矩形,∴EM=AB'
=AB=16.AE=BM=20.在Rt△EMB'
=AE+B'
E=20+12=32,设AG=A'
G=y,则GB'
=AB'
-AG=32-y,在Rt△A'
B'
G中,根据勾股定理得A'
G2+A'
2=GB'
2,即y2+162=(32-y)2,解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE-AG=20-12=8,在Rt△GEM中,GM===8.综上所述,折痕的长度为10或8.
图①图②
第2题解图
3.已知⊙O的直径AB=20,弦CD⊥AB于点E,且CD=16,则AE的长为_______.
16或4【解析】如解图①,当点E在线段OB上时,由题意可知OC=AB=10,CE=CD=8.∴OE=6,∴AE=16;
如解图②,当点E在线段AO上时,同理OE=6,∴AE=OA-OE=4,∴AE的长为16或4.
第3题解图
4.已知BD,CE是△ABC的两条高,直线BD,CE相交于点F.若△ABC中,∠BAC=55°
,则∠DFE的度数是________.
125°
或55°
.【解析】如解图①,当△ABC是锐角三角形时,∵BD,CE是△ABC的两条高,∴∠FDA=∠FEA=90°
.∵∠BAC=55°
,∴∠DFE=360°
-90°
-55°
=125°
.如图②,当△ABC是钝角三角形时,∵BD,CE是△ABC的两条高,∴∠CEB=∠CDF=∠BDC=90°
.∵EC的延长线与BD的延长线交于点F,∵∠ACE=∠DCF,∠BAC=55°
,∴∠DFE=∠BAC=55°
.
第4题解图
5.如图,在△ABC中,AB=AC=4,点O是AB的中点,点P是线段CO延长线上一点,∠AOC=120°
,当△PAB为直角三角形时,AP的长为.
第5题图
2或【解析】当∠APB=90°
时,如解图①,∵点O是AB的中点,∴AO=BO,∴PO=AO,∵∠AOC=120°
,∴∠AOP=60°
,∴△AOP为等边三角形,∴∠OAP=60°
,∴∠PBA=30°
,∴AP=AB=2;
当∠BAP=90°
时,如解图②,∵∠AOC=120°
,∵OA=AB=2,∴OP=2OA=4,,综上所述,当△PAB为直角三角形时,AP的长为2或.
6.如图,在△ABC,AB=2,点E是BC上一点,过点E作AC的垂线,交AC于点O,O为AC中点,OA=OE=3,BE=,连接AE,点P是线段AC上一点,连接EP.当△OEP与△ABE相似时,则AP的长为.
第6题图
2或4【解析】∵OA=OE=3,OE⊥OA,∴,,∴,∴∠AEB=90°
,当点P在O点右侧时,当△AEB∽△EOP时,∴OP=1,∴AP=OA-OP=3-1=2;
当点P在O点左侧时,同理可得,AP=OA+OP=3+1=4,当△AEB∽△POE时,,OP=9,∵O为AC中点,∴AC=6,又∵OP=9>AC,∴不符合题意,综上所述,AP的长为2或4.
7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P是对角线AC上一点,若点P,A,B组成一个以AB为腰的等腰三角形时,则△PAB的面积是
第7题图
或【解析】如解图,过点B作BE⊥AC于点E,由勾股定理得AC=5,∵,∴BE=,分种情况,
(1)如解图①,当PA=AB=3时,∴△PAB的面积=;
(2)如解图②,当PB=AB时,由勾股定理得AE=,∴AP=2AE=,∴△PAB的面积=.综上,△PAB的面积为或.
第7题解图
8.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的平分线上时,则点B′到BC的距离为_____.
第8题图
2或1【解析】如解图,连接B′D,过点B′作B′M⊥AD于点M,反向延长B′M交BC于点N,∵DB′平分∠ADC,∴∠ADB′=∠B′DC=∠ADC=45°
,∴△B′DM是等腰直角三角形,设DM=B′M=x,则AM=7-x,由折叠的性质知AB=AB′=5,在Rt△AMB′中,由勾股定理得AM2=AB′2-B′M2,即(7-x)2=25-x2,解得x=3或x=4,∵B′N=5-B′M,∴B′N=2或B′N=1,即点B′到BC的距离为2或1.
第8题解图
9.如图,正方形OABC中,AB=2,点D为BC的中点,E为OC边上一点,连接ED并延长交AB的延长线于点F,当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时,则OE的长为.
第9题图
【解析】∵AB∥CO,∴∠F=∠CED,∠FDB=∠EDC,∵点D是BC的中点,∴BD=CD,∴△FDB≌△EDC,∴CE=FB=2-OE,BD=CD=1,AF=2+2-OE=4-OE,当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时,分下列两种情况:
①当EA=EF时,如解图,作EG⊥AF于点G,∴FG=GA,四边形AGEO为矩形,∴AG=OE,∴,解得;
②当AE=AF时,在Rt△AEO中,AF=AE=4-OE,AO=2,由勾股定理得,解得,综上所述,OE的长为.
第9题解图
10.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(1,4),E(0,3),连接AB、AE、BE,并延长BE交x轴于点C,点P是线段AC上一点,连接EP.当△OEP与△ABE相似时,则AP的长为_____.
第10题图
2或4【解析】∵A(3,0),B(1,4),E(0,3),∴AB2=(3-1)2+(0-4)2=20,AE2=(3-0)2+(0-3)2=18,BE2=(1-0)2+(4-3)2=2,∵AE2+BE2=18+2=20=AB2,∴∠AEB=90°
.当△AEB∽△EOP时,=,即=,∴OP=1,∴P(-1,0)或P(1,0),∴AP=4或2;
当△AEB∽△POE时,=,即=,∴OP=9,∴P(9,0)或P(-9,0),易得直线BE的解析式为y=x+3,当y=0时,x=-3,∴C(-3,0),又∵A(3,0),P是线段AC上一点,∴此情况不合题意,综上所述,AP的长为2或4.