新教材新人教A版必修一 三角函数的图像与性质 学案Word文件下载.docx

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[2kπ－π,2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]

无

对称中心

（kπ，0）

对称轴方程

x＝kπ＋

x＝kπ

知识拓展

1．对称与周期

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．奇偶性

若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0）,则：

（1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）；

（2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）y＝sinx在第一、第四象限上是增函数．（×

）

（2）由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx（x∈R）的一个周期．（×

（3）正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．（×

（4）已知y＝ksinx＋1,x∈R，则y的最大值为k＋1。

（×

（5）y＝sin｜x|是偶函数．（√）

题组二　教材改编

2．函数f（x）＝cos的最小正周期是．

答案　π

3．y＝3sin在区间上的值域是．

答案　

解析　当x∈时，2x－∈,

sin∈，

故3sin∈,

即y＝3sin的值域为.

4．y＝tan2x的定义域是．

解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z,

∴y＝tan2x的定义域是.

题组三　易错自纠

5．函数f（x）＝sin的图像的一条对称轴是（）

A．x＝B．x＝

C．x＝－D．x＝－

答案C

解析　∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x－＝kπ＋，k∈Z,∴x＝kπ＋，k∈Z.

取k＝－1，则x＝－。

6．函数y＝－tan的递减区间为．

答案（k∈Z）

解析　因为y＝tanx的递增区间为

（k∈Z），

所以由－＋kπ<

2x－<

＋kπ,k∈Z，

得＋<

x〈＋（k∈Z），

所以y＝－tan的递减区间为（k∈Z）．

7．cos23°

，sin68°

，cos97°

的大小关系是．

答案　sin68°

>

cos23°

〉cos97°

解析　sin68°

＝cos22°

，

又y＝cosx在［0°

180°

]上是减函数,

∴sin68°

。

题型一　三角函数的定义域和值域

1．函数f（x）＝－2tan的定义域是（）

A。

B。

C.D。

答案　D

解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋（k∈Z），故选D.

2．函数y＝的定义域为．

答案　（k∈Z）

解析　方法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图像，在同一坐标系中画出［0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图像，如图所示．

在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为

.

方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）．

所以定义域为。

3．函数y＝－2sinx－1，x∈的值域是．

答案　（－2,1]

解析　当x∈时，－1≤sinx<

所以函数y＝－2sinx－1，x∈的值域是（－2,1]．

4．（2018届山东邹平双语学校月考）函数f（x）＝sin2x＋cosx－的最大值是．

答案1

解析　f（x）＝sin2x＋cosx－

＝1－cos2x＋cosx－，

令cosx＝t且t∈［0，1］，

则y＝－t2＋t＋＝－2＋1，

当t＝时，ymax＝1，

即f（x）的最大值是1。

思维升华

（1）三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

（2）三角函数值域的不同求法

①利用sinx和cosx的值域直接求；

②把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0）的形式求值域；

③通过换元，转换成二次函数求值域．

题型二　三角函数的单调性

命题点1　求三角函数的单调性

典例

（1）函数f（x）＝tan的递增区间是（）

（k∈Z）

C.（k∈Z）

D.（k∈Z）

答案　B

解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋（k∈Z）,

得－＜x＜＋（k∈Z），

所以函数f（x）＝tan的递增区间是

（k∈Z），故选B.

（2）（2017·

哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考）函数y＝sinx＋cosx的递增区间是．

解析　∵y＝sinx＋cosx＝sin,

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），

解得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）．

∴函数的递增区间为（k∈Z）,

又x∈，∴递增区间为.

命题点2　根据单调性求参数

典例已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上是减少的,则ω的取值范围是．

答案

解析　由＜x＜π，ω＞0，得

＋＜ωx＋＜ωπ＋，

又y＝sinx的递减区间为，k∈Z，

所以k∈Z，

解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.

又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>

0,k∈Z，得k＝0，所以ω∈。

引申探究

本例中，若已知ω〉0，函数f（x）＝cos在上是增加的,则ω的取值范围是．

解析　函数y＝cosx的递增区间为［－π＋2kπ，2kπ］，k∈Z，则k∈Z，

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，

得k＝1,所以ω∈。

思维升华

（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中ω＞0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0,可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

跟踪训练（2017·

济南模拟）若函数f（x）＝sinωx（ω>

0）在区间上是增加的，在区间上是减少的，则ω等于（）

C．2D．3

答案B

解析　由已知得＝,

∴T＝,∴ω＝＝.

题型三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性

命题点1　三角函数的周期性

典例

（1）（2017·

湘西自治州模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx－ωπ）（ω〉0）的最小正周期为π，则f等于（）

A.B．－

C.D．－

答案A

解析　∵T＝π，∴ω＝＝＝2，

∴f（x）＝sin＝sin2x，

∴f＝sin＝.

（2）若函数f（x）＝2tan的最小正周期T满足1〈T〈2,则自然数k的值为．

答案2或3

解析　由题意得，1<

<

2，

∴k〈π<

2k,即<

k〈π，

又k∈Z,∴k＝2或3.

命题点2　三角函数的奇偶性

典例（2017·

银川模拟）函数f（x）＝3sin，φ∈（0，π）满足f（|x｜）＝f（x），则φ的值为．

解析　由题意知f（x）为偶函数，关于y轴对称，

∴f（0）＝3sin＝±

3，

∴φ－＝kπ＋，k∈Z,又0<

φ<

π,∴φ＝。

命题点3　三角函数图像的对称性

典例

（1）下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是（）

A．y＝2sinB．y＝2sin

C．y＝2sinD．y＝2sin

解析　由y＝f（x）的最小正周期为π，可排除C；

其图像关于直线x＝对称，根据选项,则f＝2或－2，可排除A,D。

故选B。

（2）（2016·

全国Ⅰ改编）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），x＝－为f（x）的零点,x＝为y＝f（x）图像的对称轴，且f（x）在上单调,则ω的最大值为．

答案　9

解析　因为x＝－为f（x）的零点，x＝为f（x）的图像的对称轴,所以－＝＋，即＝T＝·

，所以ω＝2k＋1（k∈N），又因为f（x）在上单调,所以－＝≤＝，即ω≤12，

若ω＝11，又｜φ|≤，则φ＝－，

此时,f（x）＝sin，f（x）在上是增加的，在上是减少的，不满足条件．

若ω＝9，又|φ|≤,则φ＝，

此时，f（x）＝sin，满足f（x）在上单调的条件．

由此得ω的最大值为9.

思维升华

（1）对于函数y＝Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．

（2）求三角函数周期的方法

①利用周期函数的定义．

②利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为。

跟踪训练

（1）（2017·

大连模拟）函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）（ω≠0）对任意x都有f＝f，则f等于（）

A．2或0B．－2或2

C．0D．－2或0

解析　由题意,知x＝为函数f（x）的一条对称轴,

∴f＝±

2。

（2）若将函数f（x）＝sin的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称，则ω的最小正值是．

答案3

解析　若将函数f（x）的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称，则平移的大小最小为，所以≤，即Tmax＝，所以当T＝时，ωmin＝＝＝3。

三角函数的图像与性质

考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考,题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．

全国Ⅲ）设函数f（x）＝cos，则下列结论错误的是（）

A．f（x）的一个周期为－2π

B．y＝f（x）的图像关于直线x＝对称

C．f（x＋π）的一个零点为x＝

D．f（x）在上是减少的

答案D

解析A项，因为f（x）＝cos的周期为2kπ（k∈Z），所以f（x）的一个周期为－2π，A项正确；

B项，因为f（x）＝cos图像的对称轴为直线x＝kπ－（k∈Z），所以y＝f（x）的图像关于直线x＝对称，B项正确；

C项,f（x＋π）＝cos。

令x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，所以f（x＋π）的一个零点为x＝，C项正确；

D项，因为f（x）＝cos的递减区间为

递增区间为（k∈Z）,

所以是f（x）的递减区间,是f（x）的递增区间，D项错误．

故选D。

（2）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f（x）的递减区间为．

答案　，k∈Z

解析　由图像知,周期T＝2×

＝2,

∴＝2,∴ω＝π.

由π×

＋φ＝＋2kπ,k∈Z，不妨取φ＝，

∴f（x）＝cos。

由2kπ<

πx＋〈2kπ＋π,k∈Z,得2k－〈x〈2k＋,k∈Z,∴f（x）的递减区间为，k∈Z。

（3）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A,ω，φ是常数，A>

0，ω〉0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f,则f（x）的最小正周期为．

解析　记f（x）的最小正周期为T.