新教材新人教A版必修一 三角函数的图像与性质 学案Word文件下载.docx
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[2kπ-π,2kπ]
递减区间
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
对称轴方程
x=kπ+
x=kπ
知识拓展
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则:
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)y=sinx在第一、第四象限上是增函数.(×
)
(2)由sin=sin知,是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.(×
(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.(×
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1。
(×
(5)y=sin|x|是偶函数.(√)
题组二 教材改编
2.函数f(x)=cos的最小正周期是.
答案 π
3.y=3sin在区间上的值域是.
答案
解析 当x∈时,2x-∈,
sin∈,
故3sin∈,
即y=3sin的值域为.
4.y=tan2x的定义域是.
解析 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan2x的定义域是.
题组三 易错自纠
5.函数f(x)=sin的图像的一条对称轴是()
A.x=B.x=
C.x=-D.x=-
答案C
解析 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点,故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z.
取k=-1,则x=-。
6.函数y=-tan的递减区间为.
答案(k∈Z)
解析 因为y=tanx的递增区间为
(k∈Z),
所以由-+kπ<
2x-<
+kπ,k∈Z,
得+<
x〈+(k∈Z),
所以y=-tan的递减区间为(k∈Z).
7.cos23°
,sin68°
,cos97°
的大小关系是.
答案 sin68°
>
cos23°
〉cos97°
解析 sin68°
=cos22°
,
又y=cosx在[0°
180°
]上是减函数,
∴sin68°
。
题型一 三角函数的定义域和值域
1.函数f(x)=-2tan的定义域是()
A。
B。
C.D。
答案 D
解析 由正切函数的定义域,得2x+≠kπ+,k∈Z,即x≠+(k∈Z),故选D.
2.函数y=的定义域为.
答案 (k∈Z)
解析 方法一要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图像,如图所示.
在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为
.
方法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).
所以定义域为。
3.函数y=-2sinx-1,x∈的值域是.
答案 (-2,1]
解析 当x∈时,-1≤sinx<
所以函数y=-2sinx-1,x∈的值域是(-2,1].
4.(2018届山东邹平双语学校月考)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是.
答案1
解析 f(x)=sin2x+cosx-
=1-cos2x+cosx-,
令cosx=t且t∈[0,1],
则y=-t2+t+=-2+1,
当t=时,ymax=1,
即f(x)的最大值是1。
思维升华
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sinx和cosx的值域直接求;
②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)的形式求值域;
③通过换元,转换成二次函数求值域.
题型二 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调性
典例
(1)函数f(x)=tan的递增区间是()
(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),
得-<x<+(k∈Z),
所以函数f(x)=tan的递增区间是
(k∈Z),故选B.
(2)(2017·
哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y=sinx+cosx的递增区间是.
解析 ∵y=sinx+cosx=sin,
由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴函数的递增区间为(k∈Z),
又x∈,∴递增区间为.
命题点2 根据单调性求参数
典例已知ω>0,函数f(x)=sin在上是减少的,则ω的取值范围是.
答案
解析 由<x<π,ω>0,得
+<ωx+<ωπ+,
又y=sinx的递减区间为,k∈Z,
所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>
0,k∈Z,得k=0,所以ω∈。
引申探究
本例中,若已知ω〉0,函数f(x)=cos在上是增加的,则ω的取值范围是.
解析 函数y=cosx的递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,则k∈Z,
解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,
又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,
得k=1,所以ω∈。
思维升华
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
跟踪训练(2017·
济南模拟)若函数f(x)=sinωx(ω>
0)在区间上是增加的,在区间上是减少的,则ω等于()
C.2D.3
答案B
解析 由已知得=,
∴T=,∴ω==.
题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
命题点1 三角函数的周期性
典例
(1)(2017·
湘西自治州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-ωπ)(ω〉0)的最小正周期为π,则f等于()
A.B.-
C.D.-
答案A
解析 ∵T=π,∴ω===2,
∴f(x)=sin=sin2x,
∴f=sin=.
(2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1〈T〈2,则自然数k的值为.
答案2或3
解析 由题意得,1<
<
2,
∴k〈π<
2k,即<
k〈π,
又k∈Z,∴k=2或3.
命题点2 三角函数的奇偶性
典例(2017·
银川模拟)函数f(x)=3sin,φ∈(0,π)满足f(|x|)=f(x),则φ的值为.
解析 由题意知f(x)为偶函数,关于y轴对称,
∴f(0)=3sin=±
3,
∴φ-=kπ+,k∈Z,又0<
φ<
π,∴φ=。
命题点3 三角函数图像的对称性
典例
(1)下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x=对称的是()
A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
解析 由y=f(x)的最小正周期为π,可排除C;
其图像关于直线x=对称,根据选项,则f=2或-2,可排除A,D。
故选B。
(2)(2016·
全国Ⅰ改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为.
答案 9
解析 因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图像的对称轴,所以-=+,即=T=·
,所以ω=2k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,
若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,
此时,f(x)=sin,f(x)在上是增加的,在上是减少的,不满足条件.
若ω=9,又|φ|≤,则φ=,
此时,f(x)=sin,满足f(x)在上单调的条件.
由此得ω的最大值为9.
思维升华
(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.
(2)求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义.
②利用公式:
y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为。
跟踪训练
(1)(2017·
大连模拟)函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意x都有f=f,则f等于()
A.2或0B.-2或2
C.0D.-2或0
解析 由题意,知x=为函数f(x)的一条对称轴,
∴f=±
2。
(2)若将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称,则ω的最小正值是.
答案3
解析 若将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称,则平移的大小最小为,所以≤,即Tmax=,所以当T=时,ωmin===3。
三角函数的图像与性质
考点分析纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.
全国Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在上是减少的
答案D
解析A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确;
B项,因为f(x)=cos图像的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图像关于直线x=对称,B项正确;
C项,f(x+π)=cos。
令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-,当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确;
D项,因为f(x)=cos的递减区间为
递增区间为(k∈Z),
所以是f(x)的递减区间,是f(x)的递增区间,D项错误.
故选D。
(2)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的递减区间为.
答案 ,k∈Z
解析 由图像知,周期T=2×
=2,
∴=2,∴ω=π.
由π×
+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
∴f(x)=cos。
由2kπ<
πx+〈2kπ+π,k∈Z,得2k-〈x〈2k+,k∈Z,∴f(x)的递减区间为,k∈Z。
(3)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>
0,ω〉0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.
解析 记f(x)的最小正周期为T.