普通高等学校招生全国统一考试江苏卷文档格式.docx

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【命题分析】　本题难度较小，运算的依据是A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

2．若复数z满足i·

z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

2　【考查目标】　本题主要考查复数的概念、运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　复数z＝＝（1＋2i）（－i）＝2－i的实部是2.

【答题模板】　确定复数的实部和虚部，首先要利用复数的运算法则将复数化为z＝a＋bi，a，b∈R，则a是实部，b是虚部．

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.

90　【考查目标】　本题主要考查茎叶图、平均数，考查考生对统计图和平均数的理解和应用，考查的核心素养是数据分析．

【解析】　由茎叶图可得分数的平均数为

＝90.

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．

8　【考查目标】　本题主要考查伪代码，考查考生对伪代码的理解和应用，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　该伪代码运行3次，第1次，I＝3，S＝2；

第2次，I＝5，S＝4；

第3次，I＝7，S＝8，结束运行．故输出的S的值为8.

【方法总结】　当伪代码的运行次数较少时，一般利用列举法求解，即逐次列出运行结果，直到运行结束．

5．函数f（x）＝的定义域为________．

[2，＋∞）　【考查目标】　本题主要考查函数的定义域，考查考生对基本概念的理解和应用，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　要使函数f（x）有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f（x）的定义域是[2，＋∞）．

【误区警示】　二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，不能忽略等号，另外函数的定义域要写成集合或区间的形式．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

　【考查目标】　本题主要考查古典概型，考查考生对数学知识的应用意识，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.

【误区警示】　古典概型中基本事件的计数一般利用列举法，注意列举要按照一定的顺序，避免重复和遗漏．

7．已知函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．

－　【考查目标】　本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查考生的应用意识，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　由函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝对称，得sin＝±

1，因为－＜φ＜，所以＜＋φ＜，则＋φ＝，φ＝－.

【方法总结】　正弦函数、余弦函数的图象在对称轴处的函数值取得最大值或最小值．

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．

2　【考查目标】　本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能力和应用意识，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2.

【拓展结论】　双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.

9．函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），且在区间（－2，2]上，f（x）＝则f（f（15））的值为________．

　【考查目标】　本题主要考查函数的周期性、分段函数，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　因为函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），所以函数f（x）的最小正周期是4.因为在区间（－2，2]上，f（x）＝所以f（f（15））＝f（f（－1））＝f＝cos＝.

【误区警示】　利用函数的周期性将自变量化为已知解析式的区间内的值，再代入相应的解析式，看清自变量的取值范围．

10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

　【考查目标】　本题主要考查空间几何体的体积，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．

【解析】　正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为×

（）2×

2＝.

【举一反三】　求几何体的体积时，先确定几何体的形状，再利用相应的体积公式求解．

11．若函数f（x）＝2x3－ax2＋1（a∈R）在（0，＋∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．

－3　【考查目标】　本题主要考查导数的几何意义，考查考生的化归与转化能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　f′（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）（a∈R），当a≤0时，f′（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝1，所以此时f（x）在（0，＋∞）内无零点，不满足题意．当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，又f（x）在（0，＋∞）内有且只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，得a＝3，所以f（x）＝2x3－3x2＋1，则f′（x）＝6x（x－1），当x∈（－1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）max＝f（0）＝1，f（－1）＝－4，f

（1）＝0，则f（x）min＝－4，所以f（x）在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.

【方法总结】　利用导数求函数的最值时，首先利用导数研究函数的单调性、极值，再与区间端点的函数值比较大小．

12．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：

y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·

＝0，则点A的横坐标为________．

3　【考查目标】　本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　因为·

＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°

.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tanθ＝2，k＝tan＝－3.又B（5，0），所以直线AB的方程为y＝－3（x－5），又A为直线l：

y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得，所以点A的横坐标为3.

【命题分析】　本题考查直线与圆的位置关系，利用等价转化思想将问题转化为两直线的交点问题．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°

，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．

9　【考查目标】　本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　因为∠ABC＝120°

，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°

，由三角形的面积公式可得acsin120°

＝asin60°

＋csin60°

，化简得ac＝a＋c，又a＞0，c＞0，所以＋＝1，则4a＋c＝（4a＋c）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.

【方法总结】　应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件．

14．已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an＋1成立的n的最小值为________．

27　【考查目标】　本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　所有的正奇数和2n（n∈N*）按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，25前面有16个正奇数，即a21＝25，a38＝26.当n＝1时，S1＝1＜12a2＝24，不符合题意；

当n＝2时，S2＝3＜12a3＝36，不符合题意；

当n＝3时，S3＝6＜12a4＝48，不符合题意；

当n＝4时，S4＝10＜12a5＝60，不符合题意；

……；

当n＝26时，S26＝＋＝441＋62＝503＜12a27＝516，不符合题意；

当n＝27时，S27＝＋＝484＋62＝546＞12a28＝540，符合题意．故使得Sn＞12an＋1成立的n的最小值为27.

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：

（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC.

【考查目标】　本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．

【解题思路】　

（1）利用平行六面体的性质得线线平行，再利用线面平行的判定定理证明．

（2）利用平行六面体的性质和线面垂直、面面垂直的判定定理证明．

【解析】　

（1）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC.

因为AB1⊂平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

【解题关键】　熟记直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．

16．（本小题满分14分）

已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α＋β）＝－.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α－β）的值．

【考查目标】　本题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）的正切公式及二倍角的余弦公式，考查运算求解能力．

【解题思路】　

（1）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解．

（2）利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求解．

【解析】　

（1）因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.

（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．

又因为cos（α＋β）＝－，所以sin（α＋β）＝＝，

因此tan（α＋β）＝－2.

因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，

因此，tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]＝＝－.

17．（本小题满分14分）