数学高二选修2326正态分布导学案Word格式文档下载.docx
《数学高二选修2326正态分布导学案Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学高二选修2326正态分布导学案Word格式文档下载.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
X≤μ+σ)=____________;
②P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=____________;
③P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=____________.
自我检测
1.(2011·
大连模拟)下列说法不正确的是( )
A.若X~N(0,9),则其正态曲线的对称轴为y轴
B.正态分布N(μ,σ2)的图象位于x轴上方
C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布
D.函数φ(x)=(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),则P(ξ<
3)等于( )
A.B.C.D.
3.(2011·
湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
4)=0.8,则P(0<
ξ<
2)等于( )
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
4.某随机变量ξ服从正态分布,其正态分布密度函数为φ(x)=,则ξ的期望和标准差分别是( )
A.0和8B.0和4
C.0和D.0和2
5.
(2011·
辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>
0)和N(μ2,σ)(σ2>
0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<
μ2,σ1<
σ2
B.μ1<
μ2,σ1>
C.μ1>
D.μ1>
探究点一 正态曲线的性质
例1
如图所示,是一个正态曲线,试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式,并求出正态总体随机变量的均值和方差.
变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;
(2)求正态总体在(-4,4]的概率.
探究点二 服从正态分布的概率计算
例2 设X~N(5,1),求P(6<
X≤7).
变式迁移2 设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1<
X≤3);
(2)P(3<
X≤5);
(3)P(X≥5).
探究点三 正态分布的应用
例3 (2011·
青岛期末)在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少?
(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?
变式迁移3 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该同学中成绩在80分~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人?
1.正态分布密度曲线,简称正态曲线,其解析式为:
φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞).
2.正态曲线的特点:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(3)曲线在x=μ时达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
3.3σ原则:
从理论上讲,服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R,但实际上ξ取区间(μ-3σ,μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%),在实际问题中常常认为它是不会发生的.因此,往往认为它的取值是个有限区间,即区间(μ-3σ,μ+3σ),这就是实用中的三倍标准差规则,也叫3σ原则.在企业管理中,经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如图是正态分布N(μ,σ),N(μ,σ),N(μ,σ)相应的曲线,则有( )
A.σ1>
1>
σ2>
σ3>
B.0<
σ1<
σ2<
1<
σ3
C.σ1>
D.0<
σ2=1<
2.(2011·
佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>
c+1)=P(ξ<
c-1),则c等于( )
A.1B.2C.3D.4
3.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为φ(x)=·
(x∈R),则下列命题中不正确的是( )
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学成绩标准差为10
4.(2010·
广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>
4)等于( )
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
5.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内?
( )
A.(90,110]B.(95,125]
C.(100,120]D.(105,115]
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.
设三个正态分布N(μ1,σ)(σ1>
0),N(μ2,σ)(σ2>
0),N(μ3,σ)(σ3>
0)的密度函数图象如图所示,则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________;
σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________.
7.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________.
8.(2011·
青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)设X~N(10,1).
(1)证明:
P(1<
X<
2)=P(18<
19);
(2)设P(X≤2)=a,求P(10<
18).
10.(12分)已知某种零件的尺寸X(单位:
mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且φ(80)=.
(1)求正态分布密度函数;
(2)估计尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的百分之几?
11.(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正
态分布N(60,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人.
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人?
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生,问受奖学生的分数线是多少?
学案69 正态分布
1.
(1),x∈(-∞,+∞)
(2)①上方 ②x=μ ③x=μ ④1 ⑤μ ⑥越小 越大
2.
(1)φμ,σ(x)dx X~N(μ,σ2)
(2)①0.6826 ②0.9544 ③0.9974
1.C
2.D [由正态分布图象知,μ=3为该图象的对称轴,
P(ξ<
3)=P(ξ>
3)=.]
3.C [
∵P(ξ<
4)=0.8,
∴P(ξ>
4)=0.2,
由题意知图象的对称轴为直线x=2,
0)=P(ξ>
∴P(0<
4)=1-P(ξ<
0)-P(ξ>
4)=0.6.
2)=P(0<
4)=0.3.]
4.D [由φ(x)==对照得σ=2,μ=0,∴E(ξ)=μ=0,σ==2.]
5.A [由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴,故μ1<
μ2;
又σ越小,图象越高瘦,故σ1<
σ2.]
课堂活动区
例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数μ,σ的值,其中μ决定曲线的对称轴的位置,σ则与曲线的形状和最大值有关.
解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为,所以μ=20.
由=,解得σ=.
于是正态分布密度曲线的解析式是
均值和方差分别是20和2.
变式迁移1 解
(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由=,
得σ=4,
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
(2)P(-4<
X≤4)=P(0-4<
X≤0+4)
=P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826.
例2 解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质,把所求问题转化为已知概率的三个区间上.
解 由已知μ=5,σ=1.
∵P(4<
X≤6)=0.6826,
P(3<
X≤7)=0.9544,
∴P(3<
X≤4)+P(6<
X≤7)
=0.9544-0.6826=0.2718.
如图,由正态曲线的对称性可得
X≤4)=P(6<
∴P(6<
X≤7)==0.1359.
变式迁移2 解 ∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
X≤3)=P(1-2<
X≤1+2)
X≤μ+σ)
=0.6826.
(2)∵P(3<
X≤5)=P(-3<
X≤-1),
X≤5)=[P(-3<
X≤5)-P(-1<
X≤3)]
=[P(1-4<
X≤1+4)-P(1-2<
X≤1+2)]
=[P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)-P(μ-σ<
X≤μ+σ)]
=×
(0.9544-0.6826)=0.1359.
(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)=[1-P(-3<
X≤5)]
=[1-P(1-4<
X≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)]
=(1-0.9544)=0.0228.
例3 解题导引 正态分布已经确定,则总体的期望μ和标准差σ就可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
解 ∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ==10.
(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×
10=70,μ+2σ=90+2×
10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.6826,
所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.
一共有2000名考生,所以考