极点极线及高中圆锥曲线必备公式.docx

极点极线及高中圆锥曲线必备公式.docx

《极点极线及高中圆锥曲线必备公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极点极线及高中圆锥曲线必备公式.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

声明:

本容来自网络,感

∙XX贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》

∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》

∙XX贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》

等优秀容.

极点极线

定义已知圆锥曲线С:

Ax+By+Cx+Dy+E=0与一点P（x0,y0）[其中A+B≠0,点P不在曲线中心和渐近线上].则称点P和直线L:

A∙x0x+B∙y0y+C∙+D∙+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.

即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x，以替换x，以y0y替换y,以替换y则可得到极点P（x0,y0）的极线方程L.

特别地：

（1）对于圆（x-a）+（y-b）=r,与点P（x0,y0）对应的极线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r；

（2）对于椭圆+=1，与点P（x0,y0）对应的极线方程为+=1；

（3）对于双曲线-=1，与点P（x0,y0）对应的极线方程为-=1；

（4）对于抛物线y=2px，与点P（x0,y0）对应的极线方程为y0y=p（x0+x）；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线部]:

①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

③若极点P在曲线С,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]（若是圆,则此时中点弦的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）+（y0-b）；若是椭圆,则此时中点弦的方程为+=+；若是双曲线,则此时中点弦的方程为-=-；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p（x0+x）=y0-2px0）；

④当P（x0,y0）为圆锥曲线的焦点F（c,0）时，极线恰为该圆锥曲线的准线；

⑤极点极线的对偶性:

Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图中点Pn与直线Ln是一对极点极线]；

Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上[图中点P与直线ST是一对极点极线；点T与直线SP是一对极点极线]；

Ⅲ.点P是曲线C的极点，它对应的极线为L，则有:

1）若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP∙OQ=OR即=

椭圆如图

双曲线如图

2）若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR

如图

中学数学中极点与极线知识的现状与应用

虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆+=1的焦点的极线方程为:

x=.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.

圆锥曲线基础必备

极点极线例题