离散数学重点笔记文档格式.docx
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（9）同一律A∨0A；
A∧1A
（10）排中律A∨A1
（11）矛盾律A∧A0
（12）蕴涵等值式A→BA∨B
（13）假言易位A→BB→A
（14）等价等值式AB（A→B）∧（B→A）
（15）等价否定等值式ABABBA
（16）归缪式（A→B）∧（A→B）A
Ai（i=1,2,…,s）为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨As为析取范式（p∧┐q）∨（┐q∧┐r）∨p
A=A1∧A2∧…∧As为合取范式（p∨q∨r）∧（┐p∨┐q）∧r
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
主范式【∧小真，∨大假】
∧成真小写
【例】（p→q）→（┐q→┐p）
=┐（┐p∨q）∨（q∨┐p）（消去→）
=（p∧┐q）∨┐p∨q（┐内移）（已为析取范式）
=（p∧┐q）∨（┐p∧┐q）∨（┐p∧q）∨（┐p∧q）∨（p∧q）（*）
=m2∨m0∨m1∨m1∨m3
=m0∨m1∨m2∨m3（幂等律、排序）
（*）由┐p及q派生的极小项的过程如下：
┐p=┐p∧（┐q∨q）
=（┐p∧┐q）∨（┐p∧q）
q=（┐p∨p）∧q
=（┐p∧q）∨（p∧q）
熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式，
00，01，10，11全为成真赋值。
【例】
（p→q）∧┐p
=（┐p∨q）∧┐p（消去→）
=┐p∨（┐p∧q）（分配律、幂等律）已为析取范式
=m0∨m1
（p∧┐q）∨（┐p∧q）
=（p∨┐p）∧（p∨q）∧（┐q∨┐p）∧（┐q∨q）
=（p∨q）∧┐（p∧q）
重言蕴涵式
用附加前提证明法证明下面推理。
前提：
P→（Q→R），S∨P，Q结论：
S→R
证明：
（1）S∨P前提引入规则
（2）S附加前提引入规则
（3）P
（1）
（2）析取三段论规则
（4）P→（Q→R）前提引入规则
（5）Q→R（3）（4）假言推理规则
（6）Q前提引入规则
（7）R（5）（6）假言推理规则
【例】用归缪法证明。
P∨Q，P→R，Q→S结论：
S∨R
证明
（1）（S∨R）附加前提引入规则
（2）S∧R
（1）置换规则
（3）S
（2）化简规则
（4）R
（2）化简规则
（5）Q→S前提引入规则
（6）Q∨S（5）置换规则
（7）Q（3）（6）析取三段论
（8）P∨Q前提引入规则
（9）P（7）（8）析取三段论规则
（10）P→R前提引入规则
（11）P∨R（10）置换规则
（12）R（9）（11）析取三段论规则
（13）R∧R（4）（12）合取引入规则
全称量词"
"
对"
∨"
无分配律。
同样的，存在量词"
∧"
无分配律
（3）xyF（x,y）
x（F（x,a）∧F（x,b）∧F（x,c））
（F（a,a）∧F（a,b）∧F（a,c））∨（F（b,a）∧F（b,b）∧F（b,c））∨（F（c,a）∧F（c,b）∧F（c,c））
谓词逻辑的等价公式
定理1设A（x）是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式：
（1）﹁xA（x）x﹁A（x）
（2）﹁xA（x）x﹁A（x）
定理2设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是不含x出现的公式，则有
（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B
（2）x（A（x）∧B）xA（x）∧B
（3）x（A（x）→B）xA（x）→B
（4）x（B→A（x））B→xA（x）
（5）x（A（x）∨B）xA（x）∨B
（6）x（A（x）∧B）xA（x）∧B
（7）x（A（x）→B）xA（x）→B
（8）x（B→A（x））B→xA（x）
定理3设A（x）、B（x）是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有：
（1）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）
（2）x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）
定理4下列蕴涵式成立
（1）xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））
（2）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）
（3）x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）
（4）x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）
（5）xA（x）→xB（x）x（A（x）→B（x））
【例】在一阶逻辑自然推理系统F中构造下面推理的证明
（1）所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃荤的。
（个体域为人的集合）。
（2）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者是喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车，所以有的人不喜欢步行。
【例】符号化下面的命题“所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，任何虚数都不是实数，所以任何虚数既不是有理数也不是无理数”，并推证其结论。
证明设：
P（x）：
x是有理数。
Q（x）：
x是无理数。
R（x）：
x是实数。
S（x）：
x是虚数。
本题符号化为：
x（P（x）→R（x）），x（Q（x）→R（x）），
x（S（x）→﹁R（x））x（S（x）→﹁P（x）﹁R（x））
解
（1）x（S（x）→﹁R（x））P
（2）S（y）→﹁R（y）US
（1）
（3）x（P（x）→R（x））P
（4）P（y）→R（y）US（3）
（5）﹁R（y）→﹁P（y）T（4）E
（6）x（Q（x）→R（x））P
（7）Q（y）→R（y）US（6）
（8）﹁R（y）→﹁Q（y）T（7）E
（9）S（y）→﹁P（y）T
（2）（5）I
（10）S（y）→﹁Q（y）T
（2）（8）I
（11）（S（y）→﹁P（y））∧（S（y）→﹁Q（y）T（9）（10）I
（12）（﹁S（y）∨﹁P（y））∧（S（y）∨﹁Q（y））T（11）E
（13）﹁S（y）∨（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（12）E
（14）S（y）→（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（13）E
（15）x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））UG（14）
第六章，集合代数
自然数集合N（在离散数学中认为0也是自然数），整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C
全集U，空集是一切集合的子集
（1）幂等律：
A∩A＝AA∪A＝A
（2）同一律：
A∩U＝A
（3）零律：
A∩＝A∪E＝E
（4）结合律：
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
（5）交换律：
A∩B＝B∩AA∪B＝B∪A
（6）分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
吸收律A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A
同一律 A∪＝A
A∩E＝A
A-B称为集合B关于A的补集Ａ-B＝｛x|xＡ且xB｝
补集记作~A
~（A∪B）＝~A∩~B
~（A∩B）＝~A∪~B
（1）双重否定律：
~（~A）＝A
（2）摩根律：
~＝U~U＝
A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）
A－（B∩C）＝（A－B）∪（A－C）
～（B∪C）=～B∩～C
～（B∩C）=～B∪～C
（4）矛盾律：
A∩（~A）＝
（5）排中律：
A∪（~A）＝U
集合A和B的对称差记作AB，它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又属于B。
AB＝（A∪B）-（A∩B）
（1）AA＝
（1）
（2）A＝A
（3）AＵ＝~Ａ
（4）AB＝BA
（5）（AB）C＝A（BC）
（6）AB＝（A-B）∪（B-A）
第7章，二元关系
A×
B={<
x，y>
x∈A∧y∈B}
B={a，b}×
{c，d}={<
a，c>
，<
a，d>
b，c>
b，d>
}
自反性和反自反性
定义4.10设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有<
x，x>
R，则称二元关系R是自反的。
R在A上是自反的x（xA<
R）
定义4.11设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有<
x，x>
R，则称二元关系R是反自反的。
R在A上是反自反的x（xA<
x，x>
4.4.2对称性和反对称性
定义4.12设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，yA，当<
R，就有<
y，x>
R，则称二元关系R是对称的。
R在A上是对称的xy（xA∧yA∧<
R<
R）
定义4.13设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，yA，当<
R和<
R时，必有x=y，则称二元关系R是反对称的。
4.4.3传递性
定义4.14设R是集合A上的二元关系，如果对于任意x，y，zA，当<
R，<
y，z>
x，z>
R，则称二元关系R在A上是传递的。
R在A上是传递的xyz（xA∧yA∧zA∧<
R∧<
例4.13设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中
R={<
a，a>
b，b>
S={<
a，b>
c，c>
T={<
说明R，S，T是否为A上的传递关系。
解根据传递性的定义知，R和T是A上的传递关系，S不是A上的传递关系，因为
<
R，但<
R。
如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作。
设为偏序关系，如果<
∈，则记作xy，读作“小于或等于”
【例】4、设R是二元关系，设S={<
a,b>
|存在某个c，使得<
a,c>
∈R且<
c,b>
∈R}。
证明如果R是等价关系，则S也是等价关系。
第9章，代数系统
可以用。
、*、·
、、等符号表示二元或一
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