高考双曲线经典题Word格式.doc

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=4ab,

即k2=>

0,∴4b>

a,得e>

2、已知以向量v=（1,）为方向向量的直线l过点（0,），抛物线C：

（p>

0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

（Ⅰ）由题意可得直线l：

①

过原点垂直于l的直线方程为②

解①②得．

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

∴，

∴抛物线C的方程为．

（Ⅱ）设，，，

由，得．

又，．

解得③

直线ON：

，即④

由③、④及得，

点N的轨迹方程为．

3、已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.

（1）求双曲线的方程；

（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·

kPN的值.

（1）解：

依题意有：

可得双曲线方程为

（2）解：

设

所以

4、已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．

（I）求线段中点的轨迹的方程；

（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．

（I）由题可设，，，其中.

则1分

∵的面积为定值2，

∴.2分

，消去，得：

．4分

由于，∴，所以点的轨迹方程为（x＞0）．

5分

（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．

由消去得：

，6分

设点、、、的横坐标分别是、、、，

∴由得8分

解之得：

．

∴.9分

，

∴.10分

由于为的三等分点，∴.11分

解之得.

5、设双曲线C：

的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

（Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；

（Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

（Ⅰ）由题，得，设

则

由…………①

又在双曲线上，则…………②

联立①、②，解得

由题意，

∴点T的坐标为（2，0）…………3分

（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）

由A1、P、M三点共线，得

…………③…………1分

由A2、Q、M三点共线，得

…………④…………1分

联立③、④，解得…………1分

∵在双曲线上，

∴

∴轨迹E的方程为…………1分

（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为中，得

设

则由根与系数的关系，得……⑤

……⑥…………2分

∵∴有

将⑤式平方除以⑥式，得

…………1分

由

…………1分

∵

又

故

令∴，即

而，∴

6、已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

解

（1）设双曲线C的方程为

①

②②

又P（6,6）在双曲线C上，

由①、②解得

所以双曲线C的方程为。

（2）由双曲线C的方程可得

所以△A1PA2的重点G（2,2）

设直线l的方程为代入C的方程，整理得

③③②

整理得

④③②

解得

由③，可得

⑤③②

由④、⑤，得

7、已知，点满足，记点的轨迹为.

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点.

（i）设点，问：

是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？

若存在，求出实数的值；

若不存在，请说明理由.

（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.

（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…（3分）

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，

∴，解得………………………………………（5分）

（i）∵

……………………（7分）

假设存在实数，使得，

故得对任意的恒成立，

∴，解得

∴当时，.

当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，

综上，存在，使得.…………………………………………（8分）

（ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………（9分）

由双曲线定义得：

，，

方法一：

…………………………………………（10分）

∵，∴，∴………………………………………（11分）

注意到直线的斜率不存在时，，

综上，………………………………………………………………（12分）

8、已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点

（Ⅰ）若双曲线过点（，），求双曲线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程

（Ⅰ）∵双曲线方程为

∴双曲线方程为，又曲线C过点Q（2，），

∴双曲线方程为………………5分

（Ⅱ）∵，∴M、B2、N三点共线

∵,∴

（1）当直线垂直x轴时，不合题意

（2）当直线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，－3），

可设直线的方程为，①

∴直线的方程为②

由①，②知代入双曲线方程得

，得，

解得,∴，

故直线的方程为

40、（广东省四校联合体第一次联考）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，-）

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3,m）在双曲线上，求证：

点M在以F1F2为直径的圆上；

（3）求△F1MF2的面积.

（1）∵离心率e=

∴设所求双曲线方程为x2-y2=（≠0）

则由点（4，-）在双曲线上

知=42-（-）2=6

∴双曲线方程为x2-y2=6

（2）若点M（3,m）在双曲线上

则32-m2=6∴m2=3

由双曲线x2-y2=6知F1（2,0）,F2（-2,0）

∴

∴,故点M在以F1F2为直径的双曲线上.

（3）=×

2C×

|M|=C|M|=2×

=6

9、已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.

（1）问点P在什么曲线上？

并求出该曲线的方程；

（2）设直线与

（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？

若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

（1）设P的坐标为，由得

（2分）∴（（4分）

化简得∴P点在双曲线上，其方程为（6分）

（2）设A、B点的坐标分别为、，

由得（7分）

，（8分）

∵AB与双曲线交于两点，∴△>

0，即

解得（9分）

∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，

即，（10分）

解得，故满足题意的k值存在，且k值为.

10、过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.

（1）求证：

为定值；

（2）若，求动点的轨迹方程.

（1）设直线AB：

由得

…………………………………….3分

…………………………………………………………………………………………….7分

（2），所以四边形BOAM是平行四边形

……………………………………………………………….9分

　　　①

　　②

由①②及……………………………………………..13分

…………14分

11、双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，

（1）求双曲线的离心率e；

（2）若此双曲线过C（2，），求双曲线的方程；

（3）在

（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，的方程。

（1）四边形F2ABO是平行四边形

∴四边形F2ABO是菱形.

由双曲线定义得

（2）

，双曲线方程为

把点C代入有

∴双曲线方程

（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为

则由

因l与与双曲线有两个交点，

故所求直线l方程为