高二导数的概念提高Word格式.doc
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1、理解导数的概念及导数的几何意义;
2、掌握定义法求函数的导数及曲线的切线方程的求解问题。
重点
导数的概念及导数的几何意义
难点
曲线的切线方程问题
教学过程
一、知识总结:
⑴函数的平均变化率:
一般地,函数,是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可以用式子表示,我们把这个式子称为函数从到的平均变化率。
习惯上用表示,即。
类似的,,于是平均变化率可以表示为。
注意:
其中的和称为改变量,既可以为“增量”也可以为“减量”,不能把它简单的看作是增加量。
相对于为“增量”,相对于为“减量”。
⑵函数的瞬时变化率:
函数在处的瞬时变化率记为。
其中,表示:
当无限趋近于时,无限趋近的值。
可以存在且不一定唯一,也可以不存在。
⑶导数:
设函数在区间上有定义,且,若无限趋近于无限趋近于0时,平均变化率无限趋近于一个常数,则是函数在处的瞬时变化率,我们称函数在处可导,并称该常数为函数在处的导数,记作:
或。
即:
。
⑷导函数:
如果函数在开区间上有定义且在区间内的每一点处都是可导的,则称函数在区间内可导,其每一个点处的导数构成一个新的函数,我们称它为函数的导函数,简称导数。
如果函数在定义域内每一点都是可导的,则称函数为可导函数。
⑸导数的几何意义:
函数在点处的导数的几何意义是曲线=在点处的切线的斜率。
也就是说,曲线=在点处的切线的斜率满足:
相应地,利用直线的点斜式可以得到切线方程为:
二、精讲精练:
例1、若。
求下列各式的值。
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ)。
练习1:
在处可导,则()
A.与、有关B.仅与有关,而与无关
C.仅与有关,而与无关D.与、均无关
练习2:
在处可导,则等于()
A.B.C.D.
练习3:
函数可导,则等于()
A.不存在B.C.D.
例2、利用两种不同的方法求函数在处的导数。
求下列函数的导数。
(Ⅰ),;
(Ⅱ),;
(Ⅲ),;
(Ⅳ),。
已知函数,则_____________;
____________。
例3、已知一物体的运动方程为,求此物体在和时的瞬时速度。
将半径为的球加热,若球的半径增加,则球的体积增加约等于()
A.B.C.D.
已知成本与产量的函数关系为,则当产量为30时,边际成本为__________。
例4、已知曲线上的一点。
(Ⅰ)求过点的切线的倾斜角;
(Ⅱ)求过点的切线方程。
在曲线上求出满足下列条件的点的坐标。
(Ⅰ)过点的切线平行于直线;
(Ⅱ)过点的切线的倾斜角为。
设点是曲线上的任意一点,是曲线在点处的切线的斜率。
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)求当取最小值时的切线方程。
下列三个命题:
其中正确的命题是_______。
①若不存在,则曲线=在点处没有切线;
②若曲线=在点处有切线,则必存在;
③若不存在,则曲线=在点处的切线的斜率不存在。
例5、已知曲线的切线经过点,求该切线的方程。
函数的图象与直线相切,则()
已知曲线的一条切线为,则______________。
已知函数的图象在点处的切线方程是,则____。
练习4:
如果曲线的一条切线与直线平行,那么曲线与切线相切的切点坐标为_____________________。
三、课后练习:
⒈当自变量x由x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x1处的导数
C.在区间[x0,x1]上的导数D.在x处的平均变化率
⒉对于函数(c为常数),则为()
A.0B.1C.cD.不存在
⒊y=x2在x=1处的导数为()
A.2xB.2C.2+ΔxD.1
⒋在导数的定义中,自变量的增量Δx满足()
A.Δx<
0B.Δx>
0C.Δx=0D.Δx≠0
⒌一物体运动满足曲线方程s=4t2+2t-3,且s’(5)=42(m/s),其实际意义是()
A.物体5秒内共走过42米B.物体每5秒钟运动42米
C.物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D.物体以t=5秒时的瞬时速度运动的话,每经过一秒,物体运动的路程为42米
⒍已知函数f(x)=x3-x在x=2处的导数为f’
(2)=11,则()
A.f’
(2)是函数f(x)=x3-x在x=2时对应的函数值
B.f’
(2)是曲线f(x)=x3-x在点x=2处的割线斜率
C.f’
(2)是函数f(x)=x3-x在x=2时的平均变化率
D.f’
(2)是曲线f(x)=x3-x在点x=2处的切线的斜率
⒎函数y=x+在x=1处的导数是()
A.2B.1C.0D.-1
⒏设函数,则等于()
A.B.C.D.
⒐下列各式中正确的是()
A.B.
C.D.
⒑设函数可导,则等于()
A.f’
(1)B.不存在C.f’
(1)D.以上都不对
⒒曲线y=2x-x3在点(1,1)处的切线方程为_______________。
⒓过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________________。
⒔已知自由落体的运动方程为s=gt2,求:
(Ⅰ)落体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;
(Ⅱ)落体在t0时的瞬时速度;
(Ⅲ)落体在t0=2s到t1=2.1s这段时间内的平均速度;
(Ⅳ)落体在t=2s时的瞬时速度。
⒕求曲线y=x2上过哪一点的切线满足下列要求。
(Ⅰ)平行于直线y=4x-5;
(Ⅱ)垂直于直线2x-6y+5=0;
(Ⅲ)与x轴成135°
的倾斜角。
⒖已知抛物线f(x)=ax2+bx-7过点(1,1),且过此点的切线方程为4x-y-3=0,求a,b的值。
课前小测
⒈在处可导,则等于()
⒉已知函数,则_____________;
⒊将半径为的圆饼加热,若圆饼的半径增加,则圆饼的面积增加约等于___________。
⒋设点是曲线上的任意一点,是曲线在点处的切线的斜率。
⒌已知曲线。
(Ⅰ)求曲线上横坐标为1的点处的切线方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的切线与曲线是否有其它公共点,如果没有,请说明理由,如果有,请求出经过该点的切线方程。
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