椭圆学案Word文档下载推荐.docx

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若将常数记为，为什么？

当时，其轨迹为　　　　　；

当时，其轨迹为　　　　　．

试试：

已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是．

小结：

应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点；

②看是否满足常数．

如何求轨迹的方程？

（引导学生推导椭圆的标准方程）

形式一：

（）

说明：

此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2.

形式二：

（）

此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.

典型例题

例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴，焦点在轴上；

⑵，焦点在轴上；

⑶．

变式：

方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围．

例2：

已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（－2，0），并且椭圆经过点，求它的标准方程。

例3：

已知，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹方程。

例4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

动手试试

1、焦点坐标为（0，-4）、（0，4），a=5的椭圆的标准方程为（）

A．B．C．D．

2、与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的椭圆方程是（）

A．B．C．D．

3、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）

A、－16＜k＜25B、－16＜k＜C、＜k＜25D、k＞

4、若方程表示的曲线是椭圆，则k的取值范围是（）

A．（3，5）B．（3，4）∪（4，5）C．（-∞，3）D．（5，+∞）

5、若C、D是以F1、F2为焦点的椭圆上两点，CD过点F1，则△F2CD的长（）

A．20B．16C．12D．10

6．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是　　　　　，它的方程是　　　　　　　．

7．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程是．ddcca

2-2椭圆及其简单几何性质

问题1：

椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？

图形：

范围：

：

：

对称性：

椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：

（），（），（），（）；

长轴，其长为；

短轴，其长为；

离心率：

刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记，且．

椭圆的几何性质呢？

=．

或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

典型例题

例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

若椭圆是呢？

①先化为标准方程，找出，求出；

②注意焦点所在坐标轴．

例2点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．

动手试试

练．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在轴上，，；

⑵焦点在轴上，，；

⑶经过点，；

⑷长轴长等到于，离心率等于．

达标训练、巩固提升（时量：

5分钟满分：

10分）计分：

1．若椭圆的离心率，则的值是（）．

A．B．或C．D．或

2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（）．

A．B．C．D．

3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（）．A．B．C．D．

4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是．

5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．

6．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（）．

A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段

7．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是．

2-3椭圆习题（学生专用）

一、选择题

1．椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（　　）

Ａ．或

Ｂ．或

Ｃ．或

Ｄ．无法确定

2．过点且与有相同焦点的椭圆方程是（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

4．椭圆的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为，则椭圆的离心率为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为1时，（　　）

Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．

6．椭圆焦点坐标为（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

二、填空题

7．椭圆的一个焦点将长轴长分成两部分，则这个椭圆的离心率为　　　　　．

8．椭圆的焦点分别为，点为其上的动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围是　　　　　　．

9．椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是　　　　　．

10．动点到点的距离与到定直线的距离之比是，则动点的轨迹方程是　　　　　．

11．一动圆过定点且与定圆相切，那么动圆圆心的轨迹方程是　　　　　．

12．点是椭圆上任意一点，自作轴的垂线（为垂足），是线段的中点，则点的轨迹方程是　　　　．

三、解答题

13．已知椭圆，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．

14．已知是椭圆内的一点，是椭圆上的动点，求的最大值与最小值．

15．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线．求椭圆的离心率．

2-3椭圆习题（教师专用）

答案：

Ｂ

Ａ

Ｃ

Ｄ

解：

设组平行弦与椭圆交于，中点为，则，，

由与，相减得，

又，

所以斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是．

易知为椭圆的右焦点，设左焦点为，

由知，，

因此，

问题转化为“求椭圆上一点到两点距离之差的最大

与最小值”，连并延长交椭圆于两点，

其一使最大，

另一个使最小，即最大值为，最小值为．

设椭圆方程为，．

则直线的方程为，代入，

化简得，

设，

则，．

由，，

与共线，得，

解得，即，

所以，所以，

故离心率．