411圆的标准方程Word文件下载.docx
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2.若点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( ).
A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0
解析 圆心为C(1,0),则AB⊥CP,∵kCP=-1,∴kAB=1,∴直线AB的方程是y+1=x-2,即x-y-3=0.答案 A
3.圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线y=x对称的圆的方程是( ).
A.(x+3)2+(y+4)2=1B.(x+4)2+(y-3)2=1
C.(x-4)2+(y-3)2=1D.(x-3)2+(y-4)2=1
解析 两个半径相等的圆关于直线对称,只需要求出关于直线对称的圆心即可,(3,-4)关于y=x的对称点为(-4,3),即为圆心,1仍为半径.即所求圆的方程为(x+4)2+(y-3)2=1.
答案 B
9.已知圆C:
(x+2)2+(y-6)2=1和直线l:
3x-4y+5=0,则圆C关于直线l对称的圆的方程为________.
解析 由(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为(-2,6),半径为1,设所求圆的圆心为M(a,b),半径为1.由题知M与C关于直线l对称,则有解得
故所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.答案 (x-4)2+(y+2)2=1
知识点:
点关于轴的对称点的坐标为;
关于轴的对称点的坐标为;
关于的对称点的坐标为;
关于的对称点的坐标为.
点关于直线的对称点的坐标的求法:
设所求的对称点的坐标为,则的中点一定在直线上.
直线与直线的斜率互为负倒数,即
例:
求点A(2,2)关于直线的对称点坐标。
分析:
利用点关于直线对称的性质求解设B(a,b)是A(2,2)关于直线的对称点,则直线AB与l垂直,线段AB中点在直线上。
解法:
(相关点法):
设B(a,b)是A(2,2)关于直线的对称点,根据直线AB与l垂直,线段AB中点在直线上,
则有解得∴所求对称点的坐标为(1,4)。
练习:
求点A()关于直线:
的对称点。
解:
设点A()关于的对称点B()∴∴B()
4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为________.
解析 设圆心坐标为(a,0),易知=
,解得a=2,∴圆心为(2,0),半径为,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
答案 (x-2)2+y2=10
5.(2012·
徐州高一检测)已知点A(8,-6)与圆C:
x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是________.
解析 由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
答案 5
6.若圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是________.设点P(x0,,,y0),直线则P到l的距离:
解析 如图所示,设圆心O(a,0),则圆心O到直线x+2y=0的距离为=,解得a=-5,a=5(舍去),故所求圆的方程是(x+5)2+y2=5.
答案 (x+5)2+y2=5
7.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).
(1)求此圆的标准方程;
(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.
解
(1)由题意,结合图
(1)可知圆心(3,0),r=2,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.
(2)如图
(2)所示,过点C作CD垂直于直线x-y+1=0,垂足为D.
由点到直线的距离公式可得|CD|==2,
又P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为2+2,最小值为2-2.
能力提升
8.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为( ).
A.2B.1C.D.
解析 由几何意义可知最小值为14-=1.
10.已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆x2+y2=4上运动,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值.
解 设P(x,y),则x2+y2=4.
|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y.
∵-2≤y≤2,
∴72≤|PA|2+|PB|2+|PC|2≤88.
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88,最小值为72.
作业:
1、(2013•重庆文科)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为
2、求圆上的点到的最远、最近的距离,并求出取得最值是对应点的坐标。
3、
(2013•重庆文科)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为
过圆心A作AQ⊥直线x=-3,与圆交于点P,此时|PQ|最小,由圆的方程得到A(3,-1),半径r=2,则|PQ|=|AQ|-r=6-2=4.
已知A(-2,0),B(2,0),点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上运动,则|PA|2+|PB|2的最小值是26.
解法1:
∵点A(-2,0),B(2,0),设P(a,b),则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8,
由点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上运动,(a-3)2+(b-4)2=4
令a=3+2cosα,b=4+2sinα,所以|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8=2(3+2cosα)2+2(4+2sinα)2+8=66+24cosα+32sinα=66+40sin(α+φ),(tanφ=).
所以|PA|2+|PB|2≥26.当且仅当sin(α+φ)=-1时,取得最小值.
∴|PA|2+|PB|2的最小值为26.
解法2:
设,则.设圆心为,则,∴的最小值为.