411圆的标准方程Word文件下载.docx

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2．若点P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）．

A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝0

解析　圆心为C（1，0），则AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴直线AB的方程是y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.答案　A

3．圆（x－3）2＋（y＋4）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是（　　）．

A．（x＋3）2＋（y＋4）2＝1B．（x＋4）2＋（y－3）2＝1

C．（x－4）2＋（y－3）2＝1D．（x－3）2＋（y－4）2＝1

解析　两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，（3，－4）关于y＝x的对称点为（－4，3），即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为（x＋4）2＋（y－3）2＝1.

答案　B

9．已知圆C：

（x＋2）2＋（y－6）2＝1和直线l：

3x－4y＋5＝0，则圆C关于直线l对称的圆的方程为________．

解析　由（x＋2）2＋（y－6）2＝1的圆心为（－2，6），半径为1，设所求圆的圆心为M（a，b），半径为1.由题知M与C关于直线l对称，则有解得

故所求圆的方程为（x－4）2＋（y＋2）2＝1.答案　（x－4）2＋（y＋2）2＝1

知识点：

点关于轴的对称点的坐标为；

关于轴的对称点的坐标为；

关于的对称点的坐标为；

关于的对称点的坐标为.

点关于直线的对称点的坐标的求法：

设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上.

直线与直线的斜率互为负倒数，即

例：

求点A（2，2）关于直线的对称点坐标。

分析：

利用点关于直线对称的性质求解设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，则直线AB与l垂直，线段AB中点在直线上。

解法：

（相关点法）：

设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，根据直线AB与l垂直，线段AB中点在直线上，

则有解得∴所求对称点的坐标为（1，4）。

练习：

求点A（）关于直线：

的对称点。

解：

设点A（）关于的对称点B（）∴∴B（）

4．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．

解析　设圆心坐标为（a，0），易知＝

，解得a＝2，∴圆心为（2，0），半径为，

∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10.

答案　（x－2）2＋y2＝10

5．（2012·

徐州高一检测）已知点A（8，－6）与圆C：

x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．

解析　由于82＋（－6）2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.

答案　5

6．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是________．设点P（x0,,,y0）,直线则P到l的距离：

解析　如图所示，设圆心O（a，0），则圆心O到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5（舍去），故所求圆的方程是（x＋5）2＋y2＝5.

答案　（x＋5）2＋y2＝5

7．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0）．

（1）求此圆的标准方程；

（2）设P（x，y）为圆C上任意一点，求点P（x，y）到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．

解　

（1）由题意，结合图

（1）可知圆心（3，0），r＝2，

所以圆C的标准方程为（x－3）2＋y2＝4.

（2）如图

（2）所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.

由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2，

又P（x，y）是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.

能力提升

8．若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（　　）．

A．2B．1C.D.

解析　由几何意义可知最小值为14－＝1.

10．已知点A（－2，－2），B（－2，6），C（4，－2），点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．

解　设P（x，y），则x2＋y2＝4.

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝（x＋2）2＋（y＋2）2＋（x＋2）2＋（y－6）2＋（x－4）2＋（y＋2）2＝3（x2＋y2）－4y＋68＝80－4y.

∵－2≤y≤2，

∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.

即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.

作业：

1、（2013•重庆文科）设P是圆（x-3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点，则|PQ|的最小值为

2、求圆上的点到的最远、最近的距离，并求出取得最值是对应点的坐标。

3、

（2013•重庆文科）设P是圆（x-3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点，则|PQ|的最小值为

过圆心A作AQ⊥直线x=-3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，-1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|-r=6-2=4．

已知A（-2，0），B（2，0），点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是26．

解法1：

∵点A（-2，0），B（2，0），设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8，

由点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，（a-3）2+（b-4）2=4

令a=3+2cosα，b=4+2sinα，所以|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8=2（3+2cosα）2+2（4+2sinα）2+8=66+24cosα+32sinα=66+40sin（α+φ），（tanφ=）．

所以|PA|2+|PB|2≥26．当且仅当sin（α+φ）=-1时，取得最小值．

∴|PA|2+|PB|2的最小值为26．

解法2：

设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.