九年级数学第7讲二次函数探究二次函数与图形面积的综合问题教案Word格式文档下载.docx

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知识讲解

探究图形面积的一般思路

要求三角形或四边形的面积的最大值或是最小值，解决这类问题的基本步骤：

（1）首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动个时间t或动点的坐标（t，at2+bt+c）

（2）①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示底和高；

②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；

（3）用含有未知数的代数式表示出图形的面积；

（4）用二次函数的知识来求最大值或是最小值。

例题精析

例1如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？

此时四边形PDCQ的面积是多少？

例2如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；

此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，

△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；

②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；

若不存在，请说明理由．

例4如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，请求出点P的坐标；

课程小结

有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与图形面积的综合问题提供有利的依据。

在探究二次函数与图形面积的综合问题时，抓住已有的信息及条件用所设未知数来表示出图形的面积，并能运用二次函数的最值来解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】

（1）由，得A（0,3），C（4,0）．由于B、C关于OA对称，所以B（－4,0），BC＝8．

因为AD//BC，AD＝BC，所以D（8,3）．将B（－4,0）、D（8,3）分别代入，得

解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．

（2）①设点P、Q运动的时间为t．

如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．

当PQ⊥AC时，．所以．解得．

图2图3

②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．

由于S△APQ＝，

S△ACD＝，

所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．

所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．

【总结与反思】

1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．

2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．

3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．

例2【规范解答】

（1）由，得A（－3,0）、B（6,0）、C（0,－9）．所以AB＝9，OC＝9．

（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．

所以．而，AE＝m，所以．

m的取值范围是0＜m＜9．

（3）如图2，因为DE//CB，所以．

因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．

所以．

当时，△CDE的面积最大，最大值为．

此时E是AB的中点，．

如图3，作EH⊥CB，垂足为H．

在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．

在Rt△BEH中，．

当⊙E与BC相切时，．所以．

1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．

2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．

例3

【规范解答】

（1）将A、C两点坐标代入抛物线c＝8，，

解得b＝，c＝8，∴抛物线的解析式为

（2）①∵OA=8，OC=6∴过点Q作QE⊥BC与E点，则

∴∴∴

∴当m=5时，S取最大值；

②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为的对称轴为，

D的坐标为（3，8），Q（3，4），

当∠FDQ=90°

时，F1（，8），当∠FQD=90°

时，则F2（，4），

当∠DFQ=90°

时，设F（，n），则FD2+FQ2=DQ2，即，解得：

，

∴F3（，），F4（，），

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1（，8），F2（，4），F3（，），F4（，）．

1.将A、C两点坐标代入抛物线即可求得抛物线的解析式；

2.①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；

②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．

例4【规范解答】解：

（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．

当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；

（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，

∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：

①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，

∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；

②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．

当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．

综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）结论：

存在．

如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．

由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．

∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；

②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．

∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，

将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，

∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：

x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，

∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．

∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．

综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；

点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

1.令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；

令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；

2.根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；

再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；

3.根据梯形定义确定点P，如图所示：

①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；

②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．