高中数学 122组合学案 新人教A版选修23.docx
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高中数学122组合学案新人教A版选修23
2019-2020年高中数学1.2.2组合学案新人教A版选修2-3
教学目标:
知识与技能:
理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法:
了解组合数的意义,理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观:
能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
教学重点:
组合的概念和组合数公式
教学难点:
组合的概念和组合数公式
授课类型:
新授课
教具:
多媒体、实物投影仪
第一课时
一、复习引入:
1分类加法计数原理:
做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法
2.分步乘法计数原理:
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事有种不同的方法
3.排列的概念:
从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
4.排列数的定义:
从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
5.排列数公式:
()
6阶乘:
表示正整数1到的连乘积,叫做的阶乘规定.
7.排列数的另一个计算公式:
=
8.提出问题:
示例1:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
示例2:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
引导观察:
示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:
组合.
二、讲解新课:
1组合的概念:
一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明:
⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:
元素相同
例1.判断下列问题是组合还是排列
(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?
有多少种不同的飞机票价?
(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?
选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?
(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信?
(5)10个人互通电话一次,共多少个电话?
问题:
(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗?
(2)什么样的两个组合就叫相同的组合
2.组合数的概念:
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
例2.用计算器计算.
解:
由计算器可得
例3.计算:
(1);
(2);
(1)解:
=35;
(2)解法1:
=120.
解法2:
=120.
第二课时
3.组合数公式的推导:
(1)从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢?
启发:
由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下:
组合排列
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:
①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:
=,所以,.
(2)推广:
一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步:
①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;
②求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:
=.
(3)组合数的公式:
或
规定:
.
三、讲解范例:
例4.求证:
.
证明:
∵
=
=
∴
例5.设求的值
解:
由题意可得:
,解得,
∵,∴或或,
当时原式值为7;当时原式值为7;当时原式值为11.
∴所求值为4或7或11.
第三课时
例6.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(l)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
分析:
对于
(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于
(2),守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.
解:
(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有C}手=12376(种).
(2)教练员可以分两步完成这件事情:
第1步,从17名学员中选出n人组成上场小组,共有种选法;
第2步,从选出的n人中选出1名守门员,共有种选法.
所以教练员做这件事情的方法数有
=136136(种).
例7.
(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?
解:
(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有
(条).
(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有
(条).
例8.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
解:
(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有
=161700(种).
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种,从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有
=9506(种).
(3)解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第
(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有
+=9604(种).
解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数,即
=161700-152096=9604(种).
说明:
“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。
变式:
按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?
(1)甲、乙、丙三人必须当选;
(2)甲、乙、丙三人不能当选;
(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选;
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
例9.
(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?
解:
.
(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?
解:
问题可以分成2类:
第一类2名男生和2名女生参加,有中选法;
第二类3名男生和1名女生参加,有中选法
依据分类计数原理,共有100种选法
错解:
种选法引导学生用直接法检验,可知重复的很多
例10.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?
解法一:
(直接法)小组构成有三种情形:
3男,2男1女,1男2女,分别有,,,
所以,一共有++=100种方法.
解法二:
(间接法)
第四课时
组合数的性质1:
.
一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数,即:
.在这里,主要体现:
“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明:
∵
又,∴
说明:
①规定:
;
②等式特点:
等式两边下标同,上标之和等于下标;
③此性质作用:
当时,计算可变为计算,能够使运算简化.
例如===xx;
④或.
2.组合数的性质2:
=+.
一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:
一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m-1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.
证明:
∴=+.
说明:
①公式特征:
下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;
②此性质的作用:
恒等变形,简化运算
例11.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
解:
(1),或,;
(2);(3).
例12.
(1)计算:
;
(2)求证:
=++.
解:
(1)原式;
证明:
(2)右边左边
例13.解方程:
(1);
(2)解方程:
.
解:
(1)由原方程得或,∴或,
又由得且,∴原方程的解为或
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.
(2)原方程可化为,即,∴,
∴,
∴,解得或,
经检验:
是原方程的解
第五课时
例14.证明:
。
证明:
原式左端可看成一个班有个同学,从中选出个同学组成兴趣小组,在选出的个同学中,个同学参加数学兴趣小组,余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。
原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组,在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。
显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
例15.证明:
…(其中)。
证明:
设某班有个男同学、个女同学,从中选出个同学组成兴趣小组,可分为类:
男同学0个,1个,…,个,则女同学分别为个,个,…,0个,共有选法数为…。
又由组合定义知选法数为,故等式成立。
例16.证明:
…。
证明:
左边=…=…,
其中可表示先在个元素里选个,再从个元素里选一个的组合数。
设某班有个同学,选出若干人(至少1人)组成兴趣小组,并指定一人为组长。
把这种选法按取到的人数分类(…),则选法总数即为原式左边。
现换一种选法,先选组长,有种选法,再决定剩下的人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有种,所以选法总数为种。
显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
例17.证明:
…。
证明:
由于可表示先在个元素里选个,再从个元素里选两个(可重复)的组合数,所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长(可兼职)的组合数。
对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。
若组长和副组长是同一个人,则有种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有种选法。
∴共有+种选法。
显然,两种选法是一致的,故左边=右边,