高中数学解题方法之分离变量法(含答案)Word格式文档下载.doc

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（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；

（2）确定是求最大值、最小值还是值域.

再现性题组：

1、已知当xR时，不等式a+cos2x<

5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。

2、若f（x）=在上有恒成立，求a的取值范围。

3、若f（x）=在上有恒成立，求a的取值范围。

4、若方程有解，请求a的取值范围

5、已知是上的单调递增函数，则的取值范围是（）

6、求使不等式恒成立的实数a的范围。

再现性题组答案：

1、解：

原不等式当xR时，不等式a+cos2x<

5-4sinx恒成立，设则

∴

2、解：

恒成立，即在上恒成立,

只需，解得

3、解：

在上恒成立

在上恒成立

4、解:

令（t>

0），则

5、解：

在上恒成立在上恒成立

6、解：

由于函，显然函数有最大值，。

示范性题组：

例1.已知函数,且恒成立,求的取值范围.

【分析】法一（二次函数）:

问题转化为不等式组恒成立®

在上的最大值与最小值®

以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低.

法二（分离变量）:

问题转化为在上恒成立（除时注意符号）,®

由定理1得.求相应函数最值,正确率较高.

例2.已知函数若存在单调递增

区间，求的取值范围.

【分析】问题转化为在上有解,即在上有解.

解：

法一（二次函数）:

此题,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解,2解,想得过于复杂.

问题转化为在上有（存在）解®

由定理1.2得.求解相应范围上的最小值,正确率较高.

例3.已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求的取值范围.

【分析】方法一（根的分布）:

这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑:

开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.

方法二（分离变量）:

问题转化为在上恒有解®

分离变量得,有解®

由定理1.3得只需求函数在上的值域即可,单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.

通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:

思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:

个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。

例4、已知函数的导函数为，.

（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围.

（1）

即对一切恒成立即对一切恒成立

记，则在上恒成立，在上恒大于0，

在上单调递增，

（2）即对一切恒成立

若，则不满足

若，则对一切恒成立

综上所述：

巩固性题组：

1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。

2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

3、已知函数,.若对任意的都有，求实数的取值范围.

4、设函数，其中常数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。

5、在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。

7、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。

8、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。

分离变量法巩固训练题答案：

根据题意得：

在上恒成立，

即：

设，则

当时，所以

令，所以原不等式可化为：

，

要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。

即

若，则恒成立，

若，则，，

4、解：

（1），又，由得：

，由得，因此的单调增区间有与，的单调减区间有

（2）时，恒成立时，恒成立。

时，恒成立时，恒成立，

5、解:

，

，恒成立，，

即恒成立，

由于函，令，则由于的最大值取不到，即a取也满足条件，所以

7、解：

如果时，恒有意义，对恒成立.

恒成立。

令，

又则对恒成立，

又在上为减函数，，。

8、分析：

本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

是增函数对于任意恒成立

对于任意恒成立

对于任意恒成立，

令，，所以原问题，

又即

易求得。