高中数学经典高考难题集锦(解析版)(10)Word下载.doc
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7．（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令．当bk是数列{bn}的最大项时，k= ．
8．（2011•浙江）若数列中的最大项是第k项，则k= ．
9．（2010•天津）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0= ．
10．（2013•湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；
E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
11．（2010•湖南）若数列{an}满足：
对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列{（an）+}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，an=n2，则（a5）+= ，（（an）+）+= ．
12．（2010•辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为 ．
13．（2008•北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：
第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；
第2009棵树种植点的坐标应为 ．
14．（2008•天津）已知数列{an}中，，则= ．
15．（2006•天津）设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是与的夹角，（其中），设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则= ．
16．（2005•上海）已知函数f（x）=2x+log2x，数列{an}的通项公式是an=0.1n（n∈N），当|f（an）﹣2005|取得最小值时，n= ．
17．（2006•湖北）将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则= ．
二．解答题（共13小题）
18．（2008•安徽）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．
19．（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．
20．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
21．（2014秋•渝中区校级月考）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．
（Ⅰ）设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．
22．（2010•荔湾区校级模拟）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．
（1）证明；
（2）是否存在常数c＞0，使得成立？
并证明你的结论．
23．（2010•安徽）设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．
（Ⅰ）证明：
{rn}为等比数列；
（Ⅱ）设r1=1，求数列的前n项和．
24．（2010•湖南）给出下面的数表序列：
其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n﹣1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{bn}求和：
（n∈N+）
25．（2010•湖北）已知数列{an}满足：
，anan+1＜0（n≥1），数列{bn}满足：
bn=an+12﹣an2（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式
（Ⅱ）证明：
数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
26．（2009•广东）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}前n项和为Tn，问满足Tn＞的最小正整数n是多少？
27．（2009•江西）数列{an}的通项an=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为Sn．
（1）求Sn；
（2）bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
28．（2009•重庆）已知，
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：
Sn≥17n；
（Ⅲ）求证：
．
29．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，
（Ⅰ）求a1，a4
{an+1﹣2an}是等比数列；
（Ⅲ）求{an}的通项公式．
30．（2007•福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，，．
（1）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn；
（2）设（n∈N+），求证：
数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
参考答案与试题解析
．
考点：
等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．
解答：
解：
∵a1，a3，a9成等比数列，
∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），
∴a1=d，
∴=，
故答案是：
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．
2．（2013•江苏）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为 12 ．
等比数列的前n项和；
一元二次不等式的解法；
数列的函数特性；
等差数列的前n项和．菁优网版权所有
等差数列与等比数列．
设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．
设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，
由题意可得，解之可得：
a1=，q=2，
故其通项公式为an==2n﹣6．
记Tn=a1+a2+…+an==，
Sn=a1a2…an=2﹣5×
2﹣4…×
2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．
由题意可得Tn＞Sn，即＞，
化简得：
2n﹣1＞，即2n﹣＞1，
因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0
解得＜n＜，
由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．
故答案为：
12
本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．
（1）a3= ﹣ ；
（2）S1+S2+…+S100= ．
数列的求和；
数列的函数特性．菁优网版权所有
压轴题；
（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；
（2）把
（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
由，n∈N*，
当n=1时，有，得．
当n≥2时，．
即．
若n为偶数，则．
所以（n为正奇数）；
若n为奇数，则=．
所以（n为正偶数）．
所以
（1）．
故答案为﹣；
（2）因为（n为正奇数），所以﹣，
又（n为正偶数），所以．
则．
，．
…
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=．
故答案为．
本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．
（1）b2+b4+b6+b8= 3 ；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 2 ．
数列的应用；
新定义．
（1）由题设定义可知，2=1×
2，4=1×
22，6=1×
22+1×
2，8=1
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