高中数学竞赛专题讲座数列Word下载.doc
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解：
由递推式得：
3（an+1-1）=-（an-1），则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，
∴Sn-n=（a1-1）+（a2-1）+…+（an-1）==6-6×
（-）n，∴|Sn-n-6|=6×
（）n<
，得：
3n-1>
250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。
5．（集训试题）给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）
A．1 B．-1 C．2+ D．-2+
xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan（α n+）,∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。
故选A。
6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列{}的前10项和为（C）
A.B.C.D.7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。
记，，则＝
（A）20（B）4（C）42（D）145.（D）
将记做，于是有
从16开始，是周期为8的周期数列。
故正确答案为D。
二、填空题部分
1.数列的各项为正数,其前n项和 满足,则=______.
2．（2006天津）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于194．
3.（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n项和为S（n），则=___________。
4．（2006年江苏）等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当12时，有最大值．
5.在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是2005。
【解】：
设第n个等边三角形的边长为。
则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为（，）。
再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为。
从而有，即有。
由此可得
（1）,以及
（2）
（1）－
（2）即得.
变形可得.
由于，所以。
在
（1）式中取n＝1，可得，而，故。
因此第2005个等边三角形的边长为。
6.（2005年浙江）已知数列，满足,且，则=。
由，推出。
因此有
.
即有。
从而可得。
7.（2005全国）记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
A．B．C． D．
用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得
中的最大数为。
在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。
而将此数除以，便得M中的数故选C。
8．（2004全国）已知数列满足关系式，则的值是_________________________。
设 即故数列是公比为2的等比数列，
。
9．（2005四川）设为整数，集合中的数由小到大组成数列：
，则 131 。
∵为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有
，可在中取，符合条件有的数有
同理，时，符合条件有的数有
时，符合条件有的数有
因此，是中的最小值，即
三、解答题部分
1．（2006天津）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．
【解】令，由题设，有，且………5分于是，即．
∴． （※） …………………10分
又，，则．
∴当的值最小时，应有，，且．
即，． ……………………15分
由（※）式，得由于，且，解得，
∴当时，的值最小． ……………………………………………20分
2．（2006陕西赛区预赛）（20分）已知,设,记。
（1）求的表达式;
（2）定义正数数列。
试求数列的通项公式。
3．（2006安徽初赛）已知数列满足，对于所有，有，求的通项公式．
4.（2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an（1－an）。
求有多少个不同的实数t使得a2006=0。
（22004+1）
5．（2006年南昌市）将等差数列{}:
中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值.
解:
由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.
现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:
（0,+¥
）＝（0,60]∪（60,120]∪（120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项8个,为:
,,,,,,,于是每个区间段中恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8.
由于2006＝8×
250+6,而,所以.
6．（2004湖南）设数列满足条件：
，且）
求证：
对于任何正整数n，都有
证明：
令,则有，且，于是由算术-几何平均值不等式，可得+
注意到，可知，即
7．（2006年上海）数列定义如下：
，且当时，
已知，求正整数n．
解由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；
当是奇数时，．………………（4分）
由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数．
于是依次可得：
，是偶数，，是奇数，
，是偶数，，是奇数，
，是偶数，，是偶数，
，是奇数，……………（9分）
，是偶数，，
所以，，解得，n＝238．………………（14分）
13.（2005全国）数列满足：
（1）对任意为正整数；
（2）对任意为完全平方数。
（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得 ①
②
①-②得
③
由③式及可知，对任意为正整数.…………………………10分
（2）将①两边配方，得④
由③≡
∴≡≡0（mod3）∴为正整数
④式成立.是完全平方数.……………………………………20分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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