高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案Word文档下载推荐.doc

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，

评注：

已知,，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

二、叠乘法

1.○。

------------适用于：

----------这是广义的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若，则

两边分别相乘得，

例3.已知数列满足，，求。

由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

练习1.已知数列满足，求数列的通项公式。

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

练习2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.

已知等式可化为：

（）（n+1）,即

时，

==.

本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.

练习.已知,求数列{an}的通项公式.

-1.

本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为

若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法适用于

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如,其中）型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：

设,

得,与题设比较系数得

所以所以有：

因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以即：

.

规律：

将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式

例4.已知数列中，，求数列的通项公式。

又是首项为2，公比为2的等比数列

，即

四．逐项相减法（逐差法1）：

有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型

（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例5已知数列中，，求数列的通项公式。

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

练习．已知数列中，求通项。

2．形如：

（其中q是常数，且n0,1）

①若p=1时，即：

，累加即可.

②若时，即：

求通项方法有以下三种方向：

i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列

即：

令，则,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：

目的是把所求数列构造成等差数列

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

注意：

应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。

例6已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数法）：

设，比较系数得，

则数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以，即

解法二（两边同除以）：

两边同时除以得：

，下面解法略

解法三（两边同除以）：

练习.已知数列中，,，求。

在两边乘以得：

令，则,应用例7解法得：

3．形如（其中k,b是常数，且）

方法1：

逐项相减法（逐差法）

方法2：

待定系数法

通过凑配可转化为;

解题基本步骤：

1、确定=kn+b

2、设等比数列，公比为p

3、列出关系式,即

4、比较系数求x,y

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例7在数列中，求通项.（逐项相减法）

，①

时，，

两式相减得.令,则

利用类型5的方法知即②

再由累加法可得.亦可联立①②解出.

练习.在数列中，,求通项.（待定系数法）

原递推式可化为

比较系数可得：

x=-6,y=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.即：

故.

5.形如时将作为求解

分析：

原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。

例8已知数列满足，求数列的通项公式。

设

比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）

则，则是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

练习1.数列中，若,且满足,求.

.

练习2.已知数列，

求数列的通项公式an.

所以

又bn=－1，所以.

本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：

设c，则c,转化为上面类型

（1）来解

五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例9已知数列满足，求数列的通项公式。

求倒数得为等差数列，首项，公差为，

六、对数变换法适用于（其中p,r为常数）型p>

0，

例10.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

两边取对数得：

，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴

练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.

例11已知数列满足，，求数列的通项公式。

因为，所以。

两边取常用对数得

设 （同类型四）

比较系数得，

由，得，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

七、换元法适用于含根式的递推关系

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

令，则

代入得

即

因为，

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

八、逐差法2（逐项相减法）

1、递推公式中既有，又有

把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例13已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。

∵对任意有⑴

∴当n=1时，，解得或

当n≥2时，⑵

⑴-⑵整理得：

∵各项均为正数，∴

当时，，此时成立

当时，，此时不成立，故舍去

练习。

已知数列中,且,求数列的通项公式.

2、对无穷递推数列

例14已知数列满足，求的通项公式。

因为 ①

所以 ②

用②式－①式得

则故

所以 ③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

数列的通项公式与求和

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

练习6

练习7

练8若等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则

练习9求和：

5，55，555，5555，…，，…；

练习10求和：

练习11已知求和：

练习12设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且

，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

答案

练习1答案：

练习2证明：

（1）注意到：

a（n+1）=S（n+1）-S（n）

代入已知第二条式子得：

S（n+1）-S（n）=S（n）*（n+2）/n

nS（n+1）-nS（n）=S（n）*（n+2）

nS（n+1）=S（n）*（2n+2）

S（n+1）/（n+1）=S（n）/n*2

又S

（1）/1=a

（1）/1=1不等于0

所以{S（n）/n}是等比数列

（2）

由

（1）知，

{S（n）/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S（n）/n=1*2^（n-1）=2^（n-1）

即S（n）=n*2^（n-1）（*）

代入a（n+1）＝S（n）*（n+2）/n得

a（n+1）=（n+2）*2^（n-1）（n属于N）

即a（n）=（n+1）*2^（n-2）（n属于N且n>

1）

又当n=1时上式也成立

所以a（n）=（n+1）*2^（n-2）（n属于N）

由（*）式得：

S（n+1）=（n+1）*2^n

=（n+1）*2^（n-2）*2^2

=（n+1）*2^（n-2）*4

对比以上两式可知：

S（n+1）=4*a（n

练习3答案：

1）

a1=S1=1/3（a1-1）

a1=-1/2

a2=S2-S1=1/3（a2-1）+1/2

3a2=a2-1+3/2

2a2=1/2

a2=1/4

2）

3Sn=an-1

3S（n-1）=a（n-1）-1

相减：

3an=an-a（n-1）

2an=-a（n-1）

an/a（n-1）=-1/2

所以{an}为等比数列！

练习4累加法，答案：

练习5累乘法，答案：

练习6待定系数法，答案：

练习7倒数法，答案：

练习8公式法，答案：

练习9答案：

．

练习10，列项相消法，答案

练习11，,列项相消法

1/（1+2+3+……+n）=1/[n（n+1）/2]=2/[n（n+1）