高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版)Word文件下载.doc
《高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版)Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版)Word文件下载.doc(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”,包括
⑴大前提-----已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
M
·
aS
用集合的观点来理解:
若集合中的所有元素都具有性质,是的一个子集,那么中所有元素也都具有性质P.
从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;
演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法:
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示:
要点:
顺推证法;
由因导果.
⑵分析法:
从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点:
逆推证法;
执果索因.
⑶反证法:
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立;
(2)(归纳递推)假设时命题成立,推证当时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.
专题二:
数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位;
⑵复数的代数形式;
⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数
3、相关公式
⑴
⑵
⑶
⑷
指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数).
4、复数运算
⑴复数加减法:
;
⑵复数的乘法:
⑶复数的除法:
(类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化)
5、常见的运算规律
设是1的立方虚根,则,
6、复数的几何意义
复平面:
用来表示复数的直角坐标系,其中轴叫做复平面的实轴,轴叫做复平面的虚轴.
专题三:
排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴分类加法计数原理:
(分类相加)
做一件事情,完成它有类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.
⑵分步乘法计数原理:
(分步相乘)
做一件事情,完成它需要个步骤,做第一个步骤有种不同的方法,做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义:
一般地,从个不同的元素中任取个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同的元素中任取个元素的一个排列.
⑵组合定义:
一般地,从个不同的元素中任取个元素并成一组,叫做从个不同的元素中任取个元素的一个组合.
⑶排列数:
从个不同的元素中任取个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素中任取个元素的排列数,记作.
⑷组合数:
从个不同的元素中任取个元素的所有组合的个数,叫做从个不同的元素中任取个元素的组合数,记作.
⑸排列数公式:
①
②,规定.
⑹组合数公式:
①或;
⑺排列与组合的区别:
排列有顺序,组合无顺序.
⑻排列与组合的联系:
,即排列就是先组合再全排列.⑼排列与组合的两个性质性质
排列;
组合.
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:
先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;
位置优先法:
先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置).
②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉).
③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列).
④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间).
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题:
要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!
.
3、二项式定理
⑴二项展开公式:
.
⑵二项展开式的通项公式:
.主要用途是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如
在的展开式中,第项的二项式系数为,第项的系数为;
而的展开式中的系数等于二项式系数;
二项式系数一定为正,而项的系数不一定为正.
⑷的展开式:
,
若令,则有
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即
⑸二项式系数的性质:
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即;
(2)增减性与最大值:
当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值。
当n为偶数时,中间一项(第+1项)的二项式系数取得最大值.当n为奇数时,中间两项(第和+1项)的二项式系数相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
设第项的系数最大,由不等式组
可确定.
⑺赋值法
若
则设有:
②
③
④
⑤
专题四:
随机变量及其分布
1、基本概念
⑴互斥事件:
不可能同时发生的两个事件.
如果事件,其中任何两个都是互斥事件,则说事件彼此互斥.
当是互斥事件时,那么事件发生(即中有一个发生)的概率,等于事件分别发生的概率的和,即
.
⑵对立事件:
其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.
对立事件的概率和等于1..
特别提醒:
“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件,因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
⑶相互独立事件:
事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,(即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两个事件叫做相互独立事件.
当是相互独立事件时,那么事件发生(即同时发生)的概率,等于事件分别发生的概率的积.即
.
若A、B两事件相互独立,则A与、与B、与也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地,在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个试验恰好发生次的概率
⑸条件概率:
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B发生的概率.
公式:
2、离散型随机变量
⑴随机变量:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母等表示.
⑵离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;
但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出.
若是随机变量,是常数)则也是随机变量并且不改变其属性(离散型、连续型).
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布(分布列)
设离散型随机变量可能取的不同值为,…,,…,,
的每一个值()的概率,则称表
…
为随机变量的概率分布,简称的分布列.
性质:
①②
⑵两点分布
如果随机变量的分布列为
1
则称服从两点分布,并称为成功概率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
其中,于是得到随机变量的概率分布如下:
k
n
我们称这样的随机变量服从二项分布,记作,并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点:
①对立性:
即一次试验中事件发生与否二者必居其一;
②重复性:
即试验是独立重复地进行了次;
③等概率性:
在每次试验中事件发生的概率均相等.
注:
⑴二项分布的模型是有放回抽样;
⑵二项分布中的参数是
⑷超几何分布
一般地,在含有件次品的件产品中,任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为,于是得到随机变量的概率分布如下:
其中,.
我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且称随机变量服从超几何分布.
注:
⑴超几何分布的模型是不放回抽样;
⑵超几何分布中的参数是其意义分别是
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量的分布列为
则称
为离散型随机变量的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
性质:
②若服从两点分布,则
③若,则
⑵离散型随机变量的方差
为离散型随机变量的方差,并称其算术平方根为随机变量的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集中与离