高中数学向量专题-中档难度题目最全汇总Word文件下载.doc
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8.已知、是两个单位向量,那么下列命题中的真命题是( )
9.已知:
||=1,||=,⋅=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°
,设=m+n(m,n∈R),则的值为( )
A.2 B. C.3 D.4
10.已知,为单位向量,且,向量满足|﹣﹣|=2,则||的范围为( )
A.[1,1+] B.[2﹣,2+] C.[] D.[3﹣2,3+2]
11.已知平面内任意不共线三点A,B,C,则的值为( )
A.正数 B.负数
C.0 D.以上说法都有可能
13.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=4,则的最小值是( )
A.﹣4 B.﹣8 C.﹣10 D.﹣12
14.已知O是正方形ABCD的中心.若=,其中λ,μ∈R,则=( )
A. B.﹣2 C. D.
15.△ABC所在平面上一点P满足++=,则△PAB的面积与△ABC的面积比为( )
A.2:
3 B.1:
3 C.1:
4 D.1:
6
16.在△ABC中,若BC=8,BC边上中线长为3,则•=( )
A.﹣7 B.7 C.﹣28 D.28
17.已知O是正△ABC的中心.若=,其中λ,μ∈R,则的值为( )
A. B. C. D.2
18.设△ABC的面积为S,若,tanA=2,则S=( )
A.1 B.2 C. D.
19.已知向量,,为平面向量,||=||=2=1,且使得﹣2与﹣所成夹角为,则||的最大值为( )
A. B. C.1 D.+1
20.已知O为△ABC内一点,且有,记△ABC,△BCO,△ACO的面积分别为S1,S2,S3,则S1:
S2:
S3等于( )
A.3:
2:
1 B.3:
1:
2 C.6:
2 D.6:
1
21.已知△ABC是边长为1的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )
A. B. C. D.﹣1
22.已知向量,满足||=2,||==3,若(﹣2)•(﹣)=0,则||的最小值是( )
A.2﹣ B.2+ C.1 D.2
23.如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点G在AD上,且是△ABC的重心,则用向量表示为( )
A. B.
C. D.
24.设O是平面ABC内一定点,P为平面ABC内一动点,若=,则O为△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
25.已知平面向量,,满足||=||=||=1,若•=,则(2+)(﹣)的最小值为( )
A.﹣2 B.﹣ C.﹣1 D.0
26.已知O是△ABC内部一点,且3=,则△OBC的面积与△ABC的面积之比为( )
A. B.1 C. D.2
27.已知向量满足:
,若,的最大值和最小值分别为m,n,则m+n等于( )
二.填空题(共3小题)
28.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°
,∠ADC=45°
,AD=2,BC=1,P是腰CD上的动点,则|3+|的最小值为 .
29.已知向量=(2,3),=(m,﹣6),若⊥,则|2+|= .
30.已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则•的值为 .
2018年09月30日186****1015的高中数学组卷
参考答案与试题解析
【分析】如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,求出A,B,C的坐标,根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出.
【解答】解:
如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,
以DC所在的直线为y轴,
过点B做BN⊥x轴,过点B做BM⊥y轴,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°
,AB=AD=1,
∴AN=ABcos60°
=,BN=ABsin60°
=,
∴DN=1+=,
∴BM=,
∴CM=MBtan30°
∴DC=DM+MC=,
∴A(1,0),B(,),C(0,),
设E(0,m),
∴=(﹣1,m),=(﹣,m﹣),0≤m≤,
∴=+m2﹣m=(m﹣)2+﹣=(m﹣)2+,
当m=时,取得最小值为.
故选:
A.
【分析】把等式﹣4•+3=0变形,可得得,即()⊥(),设,则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上,画出图形,数形结合得答案.
由﹣4•+3=0,得,
∴()⊥(),
如图,不妨设,
则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,
又非零向量与的夹角为,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上.
不妨以y=为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线的距离减1.
即.
【分析】用,表示出,利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2的最小值即可.
∵点G是△ABC内一点,满足++=,∴G是△ABC的重心,
∴=(+),
∴=(2+2+2•)=(|AB|2+|AC|2)+,
∵•=|AB|•|AC|=1,∴|AB|•|AC|=2,
∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4,
∴2≥=.
∴||≥.
C.
【分析】根据题意,以A为原点,以AB所在对的直线为x轴,以AC所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出
∵△ABC中,,AB=AC=1,
以A为原点,以AB所在的直线为x轴,以AC所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(1,0),C(0,1)
设P的坐标为(m,0)0≤m≤1,Q的坐标为(0,n),0≤n≤1,
∴=(﹣1,n),=(m,﹣1),
∴=﹣m﹣n=﹣(m+n)≥﹣2,当且仅当m=n=1时取等号,
故的最小值为﹣2,
B.
【分析】由题意对任意x∈R,有,两边平方整理.由判别式小于等于0,可得(﹣)⊥,运用数量积的定义可得即有||=1,画出=,=,建立平面直角坐标系,设出A,B的坐标,求得|t﹣|+|t﹣|的坐标表示,运用配方和两点的距离公式,结合三点共线,即可得到所求最小值.
向量,夹角为,,对任意x∈R,有,
两边平方整理可得x22+2x•﹣(2﹣2•)≥0,
则△=4(•)2+42(2﹣2•)≤0,
即有(2﹣•)2≤0,即为2=•,
则(﹣)⊥,
由向量,夹角为,||=2,
由2=•=||•||•cos,
即有||=1,
则|﹣|==,
画出=,=,建立平面直角坐标系,如图所示;
则A(1,0),B(0,),
∴=(﹣1,0),=(﹣1,);
∴=+
=+=2(+
表示P(t,0)与M(,),N(,﹣)的距离之和的2倍,
当M,P,N共线时,取得最小值2|MN|.
即有2|MN|=2=.
D.
【分析】设,,由B,D,E,C共线可得x+y=2,
可得=()(x+y)=(5++)
设,,
∵B,D,E,C共线,∴m+n=1,λ+μ=1.
∵=x,则x+y=2,
∴=()(x+y)=(5++)
则的最小值为.
【分析】根据题意,由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=(λ+)•(﹣)=0,整理变形可得(λ﹣1)3×
4×
cos120°
﹣9λ+16=0,解可得λ的值,即可得答案.
根据题意,△ABC中,∠A=120°
,且AB=3,AC=4,
若,且,
则有•=(λ+)•(﹣)=λ•﹣λ2+2﹣•=(λ﹣1)•﹣λ2+2=0,
整理可得:
(λ﹣1)3×
﹣9λ+16=0,
解可得:
λ=
【分析】根据题意,设θ为、的夹角,据此依次分析选项,综合可得答案.
根据题意,设θ为、的夹角,据此依次分析选项:
对于A、、是两个单位向量,则、的方向不一定相同,则=不一定成立,A错误;
对于B、•=||||cosθ,当、不垂直时,•≠0,B错误;
对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1,C错误;
对于D、、是两个单位向量,即||=||,则有2=2,D正确;
【分析】由已知建立平面直角坐标系,得到的坐标,结合=m+n求得的坐标,再由与的夹角为30°
求解.
∵||=1,||=,•=0,
∴建立平面直角坐标系如图:
则,,
∴=m+n=(m,),
又与的夹角为30°
,
∴,则的值为3.
【分析】由,是单位向量,•=0.可设=(1,0),=(0,1),=(x,y).由向量满足|﹣﹣|=2,可得(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.其圆心C(1,1),半径r=2.利用|OC|﹣r≤||