高中数学专题讲解之抛物线Word文档下载推荐.docx
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2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是（）
A.B.C.D.
3.已知方程的抛物线上有一点M，点M到焦点F的距离为5，求m的值。
4、在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点所在的曲线的形状为…………（）
A1
B1
B
A
P
（A）
（B）
（C）
（D）
考点2抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程
例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（-3,2）
（2）焦点在直线上
1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值
2、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
3、若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程
考点3抛物线的几何性质
抛物线的几何性质（）：
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
顶点
（0，0）
抛物线中的最值问题：
例5、求抛物线上的点P到直线的距离的最小值，并求出P点的坐标。
例6、给定抛物线，设A，P是抛物线上的一点，且，求的最小值。
例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线上运动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值。
抛物线与直线的位置关系问题：
例8、设A、B是抛物线上的点，且满足（O为坐标原点），求证：
直线AB过定点，并求出此定点。
例9、已知正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线上，另两个顶点C、D在直线上，如图，求此正方形的边长。
例10、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴）但
，线段AB的垂直平分线经过定点Q，求抛物线的方程。
例11、设点O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，，求的面积。
例12、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
例13、已知抛物线y2=2px（p＞0）,过动点M（a,0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
（1）求a的取值范围.
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
.解：
（1）设直线l的方程为：
y=x－a,代入抛物线方程得（x－a）2=2px,即x2－2（a+p）x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－.
（2）设A（x1,y1）、B（x2,y2），AB的中点C（x,y）,
由
（1）知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x==p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－（x－a－p）,从而N点坐标为（a+2p,0）
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2.
基础巩固训练
1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）
A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在
2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）
A.3B.4C.5D.6
3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
4.如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（）．
A．5B．6C．7D．9
5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°
的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（）
A． B． C． D．
6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为．
题型、焦点弦问题
例14、已知抛物线，过焦点F的弦AB的直线倾斜角为，求AB的弦长。
例15、若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：
，。
例16、已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：
为定值。
例17、已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：
（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
M
N
Q
y
x
O
F
（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：
以MN为直径的圆与直线AB相切。
与准线l相切
例18、若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。
1、若直线经过抛物线的焦点，则实数
2、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则（）
A.B.C.D.
题型、中点弦问题：
例19、过点A，作直线交抛物线于B、C两点，求BC中点P的轨迹方程。
例20、若抛物线上存在两点PQ关于直线对称，求m的取值范围。
1、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标
2、已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．
（1）求的坐标；
（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？
3、设抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．
4、椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>
0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.
（1）求椭圆方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.
5、已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？
求出|MN|的最小值.
课后作业：
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （）
A．（1,0） B．（2,0） C．（3,0） D．（－1,0）
2．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）
A．x2+y2-x-2y-=0 B．x2+y2+x-2y+1=0
C．x2+y2-x-2y+1=0 D．x2+y2-x-2y+=0
3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （）
A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）
A．m B．2m C．4.5m D．9m
5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （）
A．y2=－2x B．y2=－4x C．y2=－8x D．y2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （）
A．y2=-2x B．y2=-4x
C．y2=2x D．y2=-4x或y2=-36x
7．过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|= （）
A．8 B．10 C．6 D．4
8．把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（）
A． B．
C． D．
9．过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有 （）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y=ax2（a>
0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （）
A．2a B． C．4a D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．
12．抛物线y=2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是．
13．P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是．
14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：
外切，求动圆圆心M的轨迹方程．（12分）
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
17．动直线y=a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．（12
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