高中不等式的证明方法Word文档格式.doc
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∵同理:
∴
4、知a,b,c,求证:
证明:
∵
即,两边开平方得
同理可得三式相加,得
5、且,证:
。
6、已知
策略:
由于
三、分析法
分析法的思路是“执果索因”:
从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。
7、已知、、为正数,求证:
要证:
只需证:
即:
∵成立∴原不等式成立
8、且,求证。
∵即∴原命题成立
四、换元法
换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的。
9、,求证:
令
左∴
10、,求证:
由设,∴
∴
11、已知a>
b>
c,求证:
∵a-b>
0,b-c>
0,a-c>
0∴可设a-b=x,b-c=y(x,y>
0)则a-c=x+y,原不等式转化为证明即证,即证∵∴原不等式成立(当仅x=y当“=”成立)
12、已知1≤x+y≤2,求证:
≤x-xy+y≤3.
∵1≤x+y≤2,∴可设x=rcos,y=rsin,其中1≤r≤2,0≤<.
∴x-xy+y=r-rsin=r(1-sin),∵≤1-sin≤,∴r≤r(1-sin)≤r,而r≥,r≤3∴≤x-xy+y≤3.
13、已知x-2xy+y≤2,求证:
|x+y|≤.
∵x-2xy+y=(x-y)+y,∴可设x-y=rcos,y=rsin,其中0≤r≤,0≤<.
∴|x+y|=|x-y+2y|=|rcos+2rsin|=r|sin(+ractan)|≤≤.
14、解不等式>
解:
因为=6,故可令=sin,=cos,∈[0,]
则原不等式化为sin-cos>所以sin>+cos
由∈[0,]知+cos>0,将上式两边平方并整理,得48cos2+4cos-23<0
解得0≤cos<所以x=6cos2-1<,且x≥-1,故原不等式的解集是{x|-1≤x<.
15、-1≤-x≤.
∵1-x≥0,∴-1≤x≤1,故可设x=cos,其中0≤≤.
则-x=-cos=sin-cos=sin(-),∵-≤-≤,
∴-1≤sin(-)≤,即-1≤-x≤.
五、增量代换法
在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简.
16、已知a,bR,且a+b=1,求证:
(a+2)+(b+2)≥.
∵a,bR,且a+b=1,∴设a=+t,b=-t,(tR)
则(a+2)+(b+2)=(+t+2)+(-t+2)=(t+)+(t-)=2t+≥.
∴(a+2)+(b+2)≥.
六、利用“1”的代换型
17、策略:
做“1”的代换。
.
七、反证法
反证法的思路是“假设矛盾肯定”,采用反证法时,应从与结论相反的假设出发,推出矛盾的过程中,每一步推理必须是正确的。
18、若p>0,q>0,p+q=2,求证:
p+q≤2.证明:
反证法
假设p+q>2,则(p+q)>8,即p+q+3pq(p+q)>8,∵p+q=2,∴pq(p+q)>2.
故pq(p+q)>2=p+q=(p+q)(p-pq+q),又p>0,q>0p+q>0,
∴pq>p-pq+q,即(p-q)<0,矛盾.故假设p+q>2不成立,∴p+q≤2.
19、已知、、(0,1),求证:
,,,不能均大于。
假设,,均大于∵,均为正∴
同理∴
∴不正确∴假设不成立∴原命题正确
20、已知a,b,c∈(0,1),求证:
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于。
假设三式同时大于∵0<a<1∴1-a>0∴
21、、、,,,,求证:
、、均为正数。
反证法:
假设、、不均为正数又∵、、两负一正
不妨设,,又∵∴同乘以∴即,与已知矛盾
∴假设不成立∴、、均为正数
八、放缩法
放缩时常用的方法有:
1去或加上一些项2分子或分母放大(或缩小)3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数,求证:
1<+++<2.
∵<<,<<,
<<,<<,
将上述四个同向不等式两边分别相加,得:
23、,求证:
∵
∴
判别式法
24、A、B、C为的内角,、、为任意实数,求证:
构造函数,判别式法令
为开口向上的抛物线
无论、为何值,∴∴命题真
九、构造函数法
构造函数法证明不等式24设0≤a、b、c≤2,求证:
4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
视a为自变量,构造一次函数=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc),由0≤a≤2,知表示一条线段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0,=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0,
可见上述线段在横轴及其上方,∴≥0,即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构,将其转化为向量形式,利用向量数量积及不等式关系·
≤||·
||,就能避免复杂的凑配技巧,使解题过程简化.应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式,思路清晰,易于掌握.
25、设a、b∈R,且a+b=1,求证:
构造向量=(a+2,b+2),=(1,1).设和的夹角为,其中0≤≤.
∵||=,||=,∴·
=||·
||cos=·
·
cos;
y
x
x+y=0
2
A
B
D
C
O
另一方面,·
=(a+2)·
1+(b+2)·
1=a+b+4=5,而0≤|cos|≤1,
所以·
≥5,从而(a+2)+(b+2)≥.
构造解析几何模型证明不等式
如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系,则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景,通过构造解析几何模型,化数为形,利用数学模型的直观性,将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.
26、设a>0,b>0,a+b=1,求证:
+≤2.
所证不等式变形为:
≤2.这可认为是点A()到直线x+y=0的距离.
但因()+()=4,故点A在圆x+y=4(x>0,y>0)上.如图所示,AD⊥BC,半径AO>AD,即有:
≤2,所以+≤2.
1.实数绝对值的定义:
|a|= 这是去掉绝对值符号的依据,是解含绝对值符号的不等式的基础。
2.最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>
0时,则 |x|<
a-a<
x<
a;
|x|>
ax<
-a或x>
a。
注:
这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。
3.常用的同解变形
|f(x)|<
g(x)-g(x)<
f(x)<
g(x);
|f(x)|>
g(x)f(x)<
-g(x)或f(x)>
|g(x)|f2(x)<
g2(x)。
4.三角形不等式:
||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|。