高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线Word下载.docx

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③a，b共起点O，终点分别为A,B，则向量三角形为△OAB，由S=12absinθ得出

向量三角形，平行四边形面积公式：

S△=a|b|2-（a·

b）22

二、硬解定理

设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆τ:

x2a2+y2b2=1交于A，B两点，O为坐标原点.

联立直线与椭圆，可得

a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0

必使

Δ=4a2b2a2k2+b2-m2>

弦长|AB|为

AB=k2+1∙ΔA=k2+1∙2aba2k2+b2-m2a2k2+b2

点O到直线AB:

kx-y+m=0的距离为d=|m|k2+1，则△AOB的面积为

SΔAOB=12AB·

d=ab·

mk2+1·

a2k2+b2-m2

=ab·

m2a2k2+b21-m2a2k2+b2

≤12ab

当且仅当m2a2k2+b2=1-m2a2k2+b2，即a2k2+b2=m2时，取等号.

三、仿射变换

在求△OAB面积最大值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么S=12r2sinθ≤12r2，当OA⊥OB时等号成立.

那么对于椭圆τ:

x2a2+y2b2=1，我们设x`=x,y`=bay，在新的坐标系下得到

x`2+y`2=a2

所以面积取到最大值时，

kOA`·

kOB`=yA`xA`·

yB`xB`=-1

即

yAyBxAxB=-b2a2

也就是

kOA·

kOB=-b2a2

四、垂径定理

已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A，B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积

kAB·

kOM=-b2a2

注一：

当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；

注二：

这里并不要求a>

b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；

注三：

双曲线x2a2-y2b2=1的垂径定理中的斜率之积

kOM=b2a2

五、切线公式

在任意二次曲线Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上一点P（x0,y0）处的切线方程为：

Ax0x+By0y+Cx0+x2+Dy0+y2+F=0

六、面积公式

由有向线段OA（x1,y1）和OB（x2,y2）围成的△OAB的有向面积

SOAB=12x1y1x2y2

例题

设a1,a2,a3,a4∈R，且a1a2a3a4=1,记f（a1,a2,a3,a4）=a12+a22+a32+a42+a1a3+a2a4，求f（a1,a2,a3,a4）的最小值。

解设m=a1,a2,n=a3,a4⇒f=|m|2+|n|2+m·

n，记cosθ=m·

n|m||n|，

则SΔ=12mnsinθ=12mn1-cosθ=…=12a1a2a3a4=12

⇒mn=1sinθ

⇒f≥2mn+m·

n

=2sinθ+cosθsinθ≥3.

6.1阿波罗尼斯圆

动点P（x,y）到定点F1（-c,0）,F2（c,0）的距离之比为λ.（c,λ为正数），则P点的轨迹方程

1-λ2x2+1-λ2y2+2c1+λ2x+1-λ2c2=0

讨论：

1.当λ=1时，即x=0,P点轨迹为直线（F1F2的中垂线）

2.当λ≠1时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆

进一步，对于圆锥曲线有:

动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值λ.则动点P的轨迹是二次曲线.其中λ即圆锥曲线的离心率e.

快速判断直径，圆心的方法：

过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径.

即：

在F1F2上找到一对调和分比点T，D（根据比例可以快速判断），TD中点即圆心.

另：

角平分线性质：

|PF1||PF2|=|TF1|TF2|PF1||TF1|=|PF2||TF2|

求满足条件BC=2，|AB||AC|=2的△ABC的面积的最大值。

解S△ABC≤12BC·

r=12BC·

12+1+12-1·

|BC|2=12×

2×

22

其实不难发现通式

r=1λ+1+1λ-1·

|BC|2=λλ2-1|BC|

已知两定点A（-2,0）,B（1,0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹所包围的面积.

已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|，若对于每个确定的向量b，记

|b-ta|（t∈R）的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为？

7.1托勒密定理

平面上四边形的四边与对角线满足关系：

对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等.

已知△ABC满足A=π3，AB+AC·

BC=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是？

静态观察（解法一）

易知△ABC为等边三角形，如图，设MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得

tx≤3t2t≤tx+t

于是1≤x≤3.

由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此MA的取值范围是[1,3].

动态探索（解法二）

如图，先固定B，M，使得BM=2，然后让C在半径为1的圆M上运动，观察A点的轨迹（暂时忽略M在△ABC外的条件）.

由平面几何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60°

后得到的圆N，据此容易求得MA的取值范围是[1,3]（注意取得最值时M均在△ABC外部）.

例题2

已知椭圆x22+y2=1，P在椭圆上，求P点到G点0,12的距离的最大值.

解根据托勒密定理有|PG|·

2c≤2a|GF1|

|PG|≤102

当且仅当P，F1，F2，G四点共圆时等号取得.易知等号可以取得.此时PG垂直过P的切线l，且PG平分∠F1PF2，这里用到了一个二级结论：

圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成的焦点三角形的外角平分线.

同时证明了取得最大值时,PG总在PF1，PF2之间，也即构成凸四边形，从而可以利用托勒密定理.进一步思考，当离心率为22时，这种做法只适用于G点在短轴上时，（此时GF1F2的外接圆与椭圆有交点）；

若G在短轴所在直线上（不在短轴上），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到.

更一般的表述：

这种做法只适用于G点在短轴所在直线上时，（且此时GF1F2的外接圆与椭圆的另半部分有交点）；

若G在短轴所在直线上（且此时GF1F2的外接圆与椭圆另半部分没有交点），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到.其中“椭圆另半部分”是指，当G在x轴一侧时，x轴另一侧的椭圆曲线被称为“椭圆另半部分”.其他情况，利用二次函数最值求解.

8.1向量叉乘注：

本节中，向量用黑体表示

在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。

在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。

1.叉乘的定义

要确定一个向量，需要知道它的模和方向。

如图1，对于给定的向量a和b，规定向量c=a×

b，满足：

（1）模：

|c|=|a||b|sina,b

（2）方向：

向量c的方向垂直于向量a和b，且符合右手定则：

用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ∈[0,π]到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。

这里的θ也就是a,b。

这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。

应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。

给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。

2.叉乘的性质

（1）显然有a×

a=0

（2）反交换律：

和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即a×

b=-b×

a，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足0≤θ≤π，也就使得积向量反向。

（3）易得对数乘的结合律，即（λa）×

b=a×

（λb）=λ（a×

b）

（4）可以证明分配律：

（a+b）×

c=a×

c+b×

c或a×

（b+c）=a×

b+a×

c

3.叉乘的几何意义

如图，在平面上取点O，作OA=a，OB=b，|a×

b|=|a||b|sina,b，由三角形面积公式S=12absinθ可知|a×

b|表示以OA,OB为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是以OA,OB为两边的平

行四边形的面积。

即|a×

b|=2S△OAB=SOABC

4.叉乘的坐标表示

将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为

如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得

到极大简化。

要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出发。

给定一组单位正交基底{i,j,k}，为满

足运算要求，应使i,j,k符合右手定则，即建立一个右手系，如图。

这样一来就有i×

j=kj×

i=-ki×

k=-jk×

i=jj×

k=ik×

j=-i

从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。

可设a=a1i+a2j+a3k=（a1,a2,a3）,b=b1i+b2j+b3k=（b1,b2,b3）

则a×

b=（a1i+a2j+a3k）×

（b1i+b2j+b3k），由向量叉乘的分配律可知，

原式=a1b2i×

j+a1b3i×

k+a2b1j×

i+a2b3j×

k+a3b1k×

i+a3b2k×

j

=a1b2k+a1b3（-j）+a2b1（-k）+a2b3i+a3b1j+a3b2（-i）

=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k

=（a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1）

即（a1,a2,a3）×

（b1,b2,b3）=（a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1），

这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。

5.叉乘的实际应用

（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了极大简化。

【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A（1,3,2），B（2,3,1），