高一数学知识点汇总讲解大全Word文件下载.doc

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（4）集合的表示方法：

集合；

例如：

①列举法：

②描述法：

（5）集合之间的关系：

①集合是集合的子集；

特别地，；

②或集合与集合相等；

③集合是集合的真子集．

例：

④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

（6）集合的运算：

①交集：

集合与集合的交集；

②并集：

集合与集合的并集；

③补集：

设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作．

④得摩根定律：

（7）集合的子集个数：

若集合有个元素，那么该集合有个子集；

个真子集；

个非空子集；

个非空真子集．

二、四种命题的形式：

（1）命题：

能判断真假的语句．

（2）四种命题：

如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是：

命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

表示形式

若，则

若，则；

若，则．

逆命题关系

原命题逆命题

逆否命题否命题

否命题关系

原命题否命题

逆否命题逆命题

逆否命题关系

原命题逆否命题

逆命题否命题

同真同假关系

（3）充分条件，必要条件，充要条件：

①若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；

②若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件．

③欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：

第一步：

证明充分性：

条件结论；

第二步：

证明必要性：

结论条件．

（4）子集与推出关系：

设、是非空集合，，，

则与等价．

结论：

小范围大范围；

例如：

小明是上海人小明是中国人．

小范围是大范围的充分非必要条件；

大范围是小范围的必要非充分条件．

二、不等式

一、不等式的性质：

不等式的性质

1、；

2、；

3、；

4、；

5、；

6、；

7、；

8、．

二、一元一次不等式：

一元一次不等式

解集

三、一元二次不等式：

的根的判别式

，

四、含有绝对值不等式的性质：

（1）；

（2）．

五、分式不等式：

（2）．

六、含绝对值的不等式：

七、指数不等式：

（2）．

八、对数不等式：

九、不等式的证明：

（1）常用的基本不等式：

①，当且仅当时取“”号；

②，当且仅当时取“”号；

补充公式：

③，当且仅当时取“”号；

④，当且仅当时取“”号；

⑤为大于1的自然数，，当且仅当

时取“”号；

（2）证明不等式的常用方法：

①比较法；

②分析法；

③综合法．

三、函数的基本性质

一、函数的概念：

（1）若自变量因变量，则就是的函数，记作；

的取值范围函数的定义域；

的取值范围函数的值域．

求定义域一般需要注意：

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，且．

（2）判断是否函数图像的方法：

任取平行于轴的直线，与图像最多只有一个公共点；

（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：

①定义域是否相同；

②对应法则是否相同．

二、函数的基本性质：

（1）奇偶性：

函数

前提条件

“定义域关于0对称”成立

①“定义域关于0对称”；

②“”；

③“”

①不成立或者

成立

奇偶性

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇偶函数

图像性质

关于轴对称

关于对称

注意：

定义域包括0的奇函数必过原点．

（2）单调性和最值：

，，任取

单调增函数

或

单调减函数

最小值

任取

最大值

注意：

①复合函数的单调性：

单调性

外函数

内函数

复合函数

②如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么函数在区间上是单调函数，区间叫做函数的单调区间．

（3）零点：

若，且，则叫做函数的零点．

零点定理：

特别地，当是单调函数，

且，则该函数在区间上有且仅有一个零点，即存在唯一，使得．

（4）平移的规律：

“左加右减，下加上减”．

向左平移

向右平移

向上平移

向下平移

备注

（5）对称性：

①轴对称的两个函数：

对称轴

轴

②中心对称的两个函数：

对称中心

③轴对称的函数：

条件

注意：

关于对称；

关于对称；

关于对称，即是偶函数．

④中心对称的函数：

关于点对称；

关于点对称；

关于点对称，即是奇函数．

（6）凹凸性：

设函数，如果对任意，且，都有，则称函数在上是凹函数；

进一步，如果对任意，都有，则称函数在上是凹函数；

该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；

设函数，如果对任意，且，都有，则称函数在上是凸函数．例如：

进一步，如果对任意，都有，则称函数在上是凸函数；

该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．

（7）翻折：

翻折后

翻折过程

将在轴右边的图像不变，并将其翻折到轴左边，并覆盖．

将在轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖．

第一步：

将在轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；

第二步：

将轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖．

将在轴上边的图像保持不变，并将轴下边的图像翻折到轴上边，不覆盖．

（8）周期性：

若，，，恒有，则称为这个函数的周期．

注意：

若是的周期，那么也是这个函数的周期；

周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．

①，是周期函数，且其中一个周期；

（阴影部分下略）

②，；

④或，；

⑤或，；

⑥或，；

⑦关于直线，，都对称；

⑧关于两点，，都成中心对称；

⑨关于点，成中心对称，且关于直线，对称；

⑩若（为常数，），则是以为周期的周期函数；

若（为常数，为正偶数），则是以为周期的周期函数．

三、V函数：

定义

形如的函数，称作V函数．

分类

图像

定义域

值域

开口

向上

向下

顶点

在上单调递减；

在上单调递增．

在上单调递增；

在上单调递减．

注意

当时，该函数为偶函数

四、分式函数：

形如的函数，称作分式函数．

（耐克函数）

渐近线

在，上单调递增；

在，上单调递减．

五、曼哈顿距离：

在平面上，，，则称为的曼哈顿距离．

六、某类带有绝对值的函数：

1、对于函数，在时取最小值；

2、对于函数，，在时取最小值；

3、对于函数，，在时取最小值；

4、对于函数，，在时取最小值；

5、推广到，，在时取最小值；

，，在时取最小值．

思考：

对于函数，在_________时取最小值．

四、幂函数、指数函数和对数函数

（一）幂函数

（1）幂函数的定义：

形如的函数称作幂函数，定义域因而异．

（2）当时，幂函数在区间上的图像分三类，如图所示．

（3）作幂函数的草图，可分两步：

①根据的大小，作出该函数在区间上的图像；

②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在上的图像．

（4）判断幂函数的的大小比较：

方法一：

与直线的交点越靠上，越大；

方法二：

与直线的交点越靠下，越大

（5）关于形如的变形幂函数的作图：

①作渐近线（用虚线）：

、；

②选取特殊点：

任取该函数图像上一点，建议取；

③画出大致图像：

结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

指数函数

1、指数运算法则：

①；

②；

③；

④，其中．

2、指数函数图像及其性质：

/

性质

①指数函数的函数值恒大于零；

②指数函数的图像经过点；

③当时，；

当时，．

3、判断指数函数中参数的大小：

方法一：

方法二：

与直线的交点越靠下，越大．

（三）反函数的概念及其性