高一数学知识点与题型完整归纳总结文档格式.doc
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Z，有理数集Q，实数集R.
1．列举法：
{a,b,c,…}
2．描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：
{xÎ
R|x-3>
2},{x|x-3>
2}.
3．语言描述法：
{不是直角三角形的三角形}.
4.Venn图.
（四）集合的分类
1.有限集:
含有有限个元素的集合;
2.无限集:
含有无限个元素的集合;
3.空集:
不含任何元素的集合;
{x|x2=-5｝.
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系——子集
注意：
有两种可能：
（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集合.
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA.
2.“相等”关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）.实例：
设A={x|x2-1=0}，B={-1,1}.则A=B.
元素相同则两集合相等,即：
①任何一个集合是它本身的子集：
AÍ
A；
②真子集:
如果AÍ
B,且A¹
B,那就说集合A是集合B的真子集，记作AÜ
B（或BÝ
A）.
③如果AÍ
B,BÍ
C,那么AÍ
C.
④如果AÍ
B,同时BÍ
A,那么A=B.
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Æ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.含有n个元素的集合，有2n个子集，个真子集.
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作“A交B”），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：
AB（读作“A并B”），即AB={x|xA，或xB}．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ð
SA，即
ð
SA=.
韦恩图示
S
A
性质
AA=A
AÆ
=Æ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
=A
ABＡ
（ð
UA）（ð
UB）=ð
U（AB）
UA）（ð
A（ð
UA）=U
A（ð
UA）=Æ
【方法归纳】
一、对于集合的问题：
要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.
二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.
三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.
四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.
课堂精讲练习题
考点一：
集合的概念与表示
1.集合A中的元素由x=a+b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素与集合A的关系.
（1）0；
（2）；
（3）.
【解题思路】：
（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为
难度分级:
B类
2.已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={（x,y）|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，求.
∵A={y|y=x-1，x∈R}=R是数集，B={（x,y）|y=x2-1，x∈R}是点集，C={x|y=x+1，y≥3}={x|x≥2}，
∴=.
A类
3.已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}，
其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.
当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解.
方程都没有实数解，
即
解此不等式组，得
∴所求实数a的取值范围为a≤,或a≥-1.
考点二：
集合中元素的特征
4.集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.
x≠－1且x≠0且x≠3.
难度分级：
5.设集合，，若，求的值及集合、．
∵且，∴．
（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；
（2）若，则或．
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；
当时，，，
由得①或②
由①得，由②得，
∴或，此时．
6.设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合：
①1∈S，②若，则，
请解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
（2）求证：
若，则.
（3）在集合S中元素能否只有一个？
请说明理由；
（4）求证：
集合S中至少有三个不同的元素.
（1）要求的两个数为；
（2）∵若，，∴.
（3）集合S中的元素不能只有一个.
证明：
假设集合S中只有一个元素，则根据题意知a=,此方程无解，∴a≠
∴集合S中的元素不能只有一个.
（4）证明：
由
（2）知，，，现在证明a，，三个数互不相等.
①若a=,此方程无解，∴a≠
②若a=，此方程无解，∴a≠
③若=，此方程无解，∴≠
综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.
C类
交集、并集、补集的含义及其运算
7.（2010·
南京模拟）已知集合M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2（x－3）}，那么M∩P＝.
由M：
x＝y2－1≥－1，即M＝{x|x≥－1}，由P：
x＝－y2＋3≤3，即P＝{x|x≤3}，
所以M∩P＝{x|－1≤x≤3}．
答案:
{x|－1≤x≤3}
8.已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠，设集合ð
U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是________．
因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合ð
U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，ð
U（A∪B）中有8个元素，即3≤x≤8且x为整数．
3≤x≤8且x为整数.
9.（2010·
盐城模拟）设全集U＝R，A＝{x|>
0}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________.
由∁UA＝[－1，－n]，知A＝（－∞，－1）∪（－n，＋∞），即不等式>
0的解集为
（－∞，－1）∪（－n，＋∞），所以－n＝1，－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，所以m2＋n2＝2.
10.若集合，集合，且，求实数的取值范围．
（1）若A＝，则，解得；
（2）若，则，解得，此时，适合题意；
（3）则，解得，此时，不合题意；
综上所述，实数的取值范围为．
11.写出阴影部分所表示的集合：
（1）B∩（ð
UA）
（2）A∩B∩C.
B级
12.（2010辽宁理）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},ð
UB∩A={9},
则A=.
因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为ð
UB∩A={9}，所以9∈A,所以A={3,9}.本题也可以用Venn图的方法帮助理解.
13.设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，若BA，求实数a的取值范围．
A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，-4},∵BA,∴B=或{0}，{-4}，{0，-4}.
①当B=时，⊿=[2（a+1）]2-4（a2-1）<
0.∴a<
-1.
②当B={0}时，,∴a=-1.
③当B={-4}时，,∴此方程组无解.
④当B={0，-4}时，,∴a=1.
∴a的取值范围为：
a-1或a=1．
14.（2010·
盐城模拟）已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2<
x＋1≤4}，设集合C＝{x|x2＋bx＋c>
0}，且满足（A∪B）∩C＝，（A∪B）∪C＝R，求实数b，c的值．
因为A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|1<
x≤3}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}，
又因为（A∪B）∩C＝，（A∪B）∪C＝R，所以C＝{x|x>
3或x<
－2}，
则不等式x2＋bx＋c>
0的解集为{x|x>
－2}，即方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，
则b＝－（3－2）＝－1，c＝3×
（－2）＝－6.
15.已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6<
0}，B={x|x2+2x-8>
0}，C={x|x2-4ax+3a2<
0}，
（1）试求a的取值范围，使A∩BC；
（2）试求a的取值范围，使.
U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），故A∩B=（2，3），
（-，-2]∪[3，+），[-4，2]，=[-4，-2]，
∵x2-4ax+3a2<
0即（x-3a）（x-a）<
0，
∴当a<
0时，C=（3a，a）；
当a=0时，C=；
当a>
0时，C=（a，3a）.
（1）要使A∩BC，结合数轴知，解得1≤a≤2；
（2）类似地，要使，必有解得.
【课堂训练】
1.若集合中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是 三角形.
根据集合中元素的互异性，a、b和c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形.
答案：
等腰
2.设集合I={1，2，3}，AI,若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集，则A={1，2}的配集有个.
A的配集中一定含有元素3,余下两个元素1，2可以全不含、仅有一个、两个都有.
4
3.三个元素的集合{1，a，}，也可表示为{0，a2，a+b}，求a2011+b2012的值．
依题意得,则b=0.所以,则.由互异性知.
所以a2011+b2012=-1.
4.设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=______________.
∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2.∴a=1.∴b=2.
∴A={5，2}，B={1，2}.∴A∪B={1，2，5}.
{1，2，5}.
3.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是___________________.
AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a
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