等差数列(一)Word格式.docx

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a4－a3＝d，

……

an－an－1＝d（n≥2），

将上述（n－1）个式子相加得

an－a1＝（n－1）d（n≥2），

∴an＝a1＋（n－1）d（n≥2），

当n＝1时，a1＝a1＋（1－1）d，符合上式，

∴an＝a1＋（n－1）d（n∈N*）．

题型一　等差数列的概念

例1　

（1）下列数列中，递增的等差数列有（　　）

①1,3,5,7,9；

②2,0，－2,0，－6,0，…；

③，，，，…；

④0,0,0,0，…；

⑤－1，，＋1.

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

（2）已知a＝，b＝，则a与b的等差中项为（　　）

A.B.C.D.

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列．

（2）a与b的等差中项为＝（＋）＝[（－）＋（＋）]＝.

跟踪训练1　

（1）在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1（n∈N*），则数列{an}是（　　）

A．公差为1的等差数列

B．公差为的等差数列

C．公差为2的等差数列

D．不是等差数列

（2）已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．

答案　

（1）B　

（2）6

解析　

（1）∵an＋1＝an＋，

∴an＋1－an＝（n∈N*），

∴数列{an}是以为公差的等差数列．

（2）由题意得.∴3（m＋n）＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6，

即m、n的等差中项为6.

题型二　等差数列的通项公式及应用

例2　

（1）若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

（2）已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？

解　

（1）设{an}的公差为d.

由题意知解得

所以a75＝a1＋74d＝＋74×

＝24.

（2）依题意得

∴

解得或∵数列{an}是递减等差数列，

∴d<

0.故取a1＝11，d＝－5.

∴an＝11＋（n－1）·

（－5）＝－5n＋16.

即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.

令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.

∴－34是数列{an}的第10项．

跟踪训练2　已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：

（1）a3＝5，a7＝13；

（2）前三项为a,2a－1,3－a.

解　

（1）设首项为a1，公差为d，则

解得

∴an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×

2＝2n－1.

（2）由等差中项公式得2×

（2a－1）＝a＋（3－a），a＝，

∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，

∴an＝＋（n－1）×

＝＋1.

题型三　等差数列的判定与证明

例3　已知数列{an}满足a1＝，且当n>

1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.

（1）求证：

数列{bn}为等差数列；

（2）试问a1a2是不是数列{an}中的项？

如果是，是第几项；

如果不是，请说明理由．

（1）证明　方法一　∵＝，

∴an－1（1－2an）＝an（2an－1＋1），

即an－1＝an（4an－1＋1），∴an＝，

∴bn＝＝＝4＋，

∴bn－bn－1＝4＋－＝4，

∴数列{bn}是等差数列．

方法二　当n>

1，n∈N*时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.

∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.

（2）解　由

（1）知bn＝b1＋（n－1）d＝5＋4（n－1）＝4n＋1.

∴an＝＝，n∈N*.

∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.

令an＝＝，∴n＝11.

即a1a2＝a11，

∴a1a2是数列{an}中的项，且是第11项．

跟踪训练3　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.

数列{an－2n}为等差数列；

（2）设数列{bn}满足bn＝2log2（an＋1－n），求{bn}的通项公式．

（1）证明　（an＋1－2n＋1）－（an－2n）＝an＋1－an－2n＝1（与n无关），故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.

（2）解　由

（1）可知，an－2n＝（a1－2）＋（n－1）d＝n－1，

故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2（an＋1－n）＝2n.

对等差数列的定义理解不深刻

例4　若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg3n，求证：

数列{an}为等差数列．

错解　因为an＝10＋lg3n＝10＋nlg3，

所以a1＝10＋lg3，a2＝10＋2lg3，a3＝10＋3lg3，所以a2－a1＝lg3，a3－a2＝lg3，则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．

错因分析　由数列的通项公式求出的a2－a1＝a3－a2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列．

正解　因为an＝10＋lg3n＝10＋nlg3，

所以an＋1＝10＋（n＋1）lg3.

所以an＋1－an＝[10＋（n＋1）lg3]－（10＋nlg3）＝lg3（n∈N*），所以数列{an}为等差数列．

误区警示　数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的．若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；

而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；

但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列．因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件．

1．等差数列{1－3n}，公差d等于（　　）

A．1B．3C．－3D．n

2．下列命题：

①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；

②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；

③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式（k，b为常数）；

④数列{2n＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是（　　）

A．①② B．①③

C．②③④ D．③④

3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<

0的n为（　　）

A．21B．22C．23D．24

4．若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有（　　）

①{|an|}；

②{an＋1－an}；

③{pan＋q}（p，q为常数）；

④{2an＋n}．

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．下列命题中正确的是（　　）

A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列

B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列

C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列

D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列

一、选择题

1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于（　　）

A．45B．41C．39D．37

2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于（　　）

A．10B．18C．20D．28

3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为（　　）

A．49B．50C．51D．52

4．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{}是等差数列，则a11等于（　　）

A．0B.C.D.

5．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为（　　）

A.B.C.D.

6．若lg2，lg（2x－1），lg（2x＋3）成等差数列，则x的值等于（　　）

A．0B．log25C．32D．0或32

7．设函数f（x）＝（x－1）2＋n（x∈[－1,3]，n∈N*）的最小值为an，最大值为bn，记cn＝b－an·

bn，则{cn}是（　　）

A．常数列 B．摆动数列

C．公差不为0的等差数列 D．递减数列

二、填空题

8．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为________．

9．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>

0，则an＝________.

10．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0（m，n∈R，且m≠n）的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．

三、解答题

11．已知等差数列{an}．

（1）若a12＝31，a32＝151，求a42的值；

（2）若a1＝5，d＝3，an＝2009，求n.

12．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．

13．已知函数f（x）＝，数列{xn}的通项由xn＝f（xn－1）（n≥2，且n∈N*）确定．

（1）求证是等差数列；

（2）当x1＝时，求x100.

课堂检测

1．答案　C

解析　∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，

∴d＝a2－a1＝－3.

2．答案　C

解析　②③④正确，①中公差为－2.

3．答案　B

解析　公差d＝a2－a1＝－4，

∴an＝a1＋（n－1）d＝84＋（n－1）（－4）＝88－4n，

令即⇒21<

n≤22.

又∵n∈N*，∴n＝22.

4．答案　C

解析　设an＝kn＋b，

则an＋1－an＝k，故②为常数列，也是等差数列．

pan＋q＝p（kn＋b）＋q＝pkn＋（pb＋q），

故③为等差数列，

2an＋n＝2（kn＋b）＋n＝（2k＋1）n＋2b，

故④为等差数列．

①未必，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，显然{|an|}不是等差数列．

5．答案　C

解析　∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，

∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），

∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．

课时精练答案

1．答案　B

解析　设公差为d，则d＝＝＝3，

∴a1＝a2－d＝2，

∴a14＝a1＋13d＝2＋13×

3＝41.

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