立体几何练习题(精)Word格式文档下载.doc
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A．1＜d1＜d2 B．d1＜d2＜1
C．d1＜1＜d2 D．d2＜d1＜1
E
F
A
G
a
b
7.在锐角的二面角，，，，若与所成角为，则二面角为__________.
8.给出下列四个命题：
（1）若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；
（2）两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；
（3）两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；
（4）为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个．
其中正确命题的序号是_______________________
9.已知正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平而所成角的正弦值是_________.
10.已知直三棱柱中，，，，为的中点，则与平面的距离为______
11.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是．
12.已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示，
给出下列结论：
①四面体体积的最大值为；
②四面体外接球的表面积恒为定值；
③若分别为棱的中点，则恒有且；
④当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为；
⑤当二面角的大小为时，棱的长为．
其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）．
13.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°
，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°
角．
（I）求证：
平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
14.如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．
（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．
15.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．
（1）求证：
直线BD1∥平面PAC；
（2）求证：
平面PAC⊥平面BDD1B1；
（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．
16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上
AC⊥平面PDB
（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°
，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）求证：
PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：
AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．
18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：
BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．
BC1∥平面A1CD；
A1C⊥AB1；
（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．
20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（3）在
（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：
EC的值；
若不存在，试说明理由．
试卷答案
1.B：
解：
若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；
由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；
由面面平行的性质定理，易得③正确；
由线面平行的性质定理，我们易得④正确；
故选B
2.D
考点：
棱柱的结构特征．
专题：
空间角．
分析：
找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．
解答：
连接BD，；
∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，
∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；
设AB=1，则BD=，BD1=，
∴cos∠DBD1===；
故选：
D．
点评：
本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．
3.C
球的体积和表面积．
计算题；
空间位置关系与距离．
根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．
由题意可知：
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：
1；
因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：
r==．
所以外接球的体积为：
V=πr3=π×
（）3=．
C．
本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．
4.D
平面与平面垂直的性质．
构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．
构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，
则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为OP为长方体的对角线．
所以OP=5．
本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．
5.D
直线与平面垂直的性质．
综合题；
探究型．
根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；
异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵SD⊥底面ABCD，
∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，
而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．
6.D
点、线、面间的距离计算．
空间位置关系与距离；
空间角．
过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．
过C做平面PAB的垂线，
垂足为E，连接BE，
则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°
，
根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．
同理，d1＜1．
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，
所以d2＜d1．
所以d2＜d1＜1．
本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．
7.
8.
（2）（4）
9.
10.1
11.
12.②③④
13.
平面与平面垂直的判定；
直线与平面所成的角．
证明题．
（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；
（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．
（I）证明：
由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）解：
过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，
∵直线B1C与平面ABC成30°
角，∴∠B1CB=30°
．
设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
14.
直线与平面所成的角；
平面与平面垂直的判定．
空间位置关系与距离；
（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．
（1）证明：
∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．
PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，
∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，
又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，
又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA
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