放缩法典型例题文档格式.doc
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(1)数列的通项公式;
(2)设,数列的前项的和为,求证:
解:
(1)由已知得,时,,作差得:
,所以,又因为为正数数列,所以,即是公差为2的等差数列,由,得,所以
(2),所以
注:
一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列,即指数列满足条件)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.
二.先放缩再求和
1.放缩后成等差数列,再求和
例2.已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求证:
;
(2)求证:
(1)在条件中,令,得,,又由条件有,上述两式相减,注意到得
∴
所以,,
所以
(2)因为,所以,所以
2.放缩后成等比数列,再求和
例3.
(1)设a,n∈N*,a≥2,证明:
(2)等比数列{an}中,,前n项的和为An,且A7,A9,A8成等差数列.设,数列{bn}前n项的和为Bn,证明:
Bn<.
(1)当n为奇数时,an≥a,于是,.
当n为偶数时,a-1≥1,且an≥a2,于是
.
(2)∵,,,∴公比.
∴..
∴.
3.放缩后为差比数列,再求和
例4.已知数列满足:
,.求证:
证明:
因为,所以与同号,又因为,所以,
即,即.所以数列为递增数列,所以,
即,累加得:
令,所以,两式相减得:
,所以,所以,
故得.
4.放缩后为裂项相消,再求和
例5.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>P(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.j
(1)求a4、a5,并写出an的表达式;
(2)令,证明,n=1,2,….
(2)因为,
所以.
又因为,
=.
综上,.
常用放缩的结论:
(1)
(2).
在解题时朝着什么方向进行放缩,是解题的关键,一般要看证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论、为等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数列,再求和即可;
如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型,则把通项放缩为等比数列,再求和即可;
如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型,则把通项放缩为差比数列,再求和即可;
如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型,则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差,再求和即可.